Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124471 / 27077
↖ ↑ ↗
← N 72.015489°
E161.869812°		 ← 94.30 m → N 72.015489°
E161.872559°		 →
↑
94.29 m
↓
↑
94.29 m
↓
N 72.014641°
E161.869812°		 ← 94.31 m →
8 892 m²		 N 72.014641°
E161.872559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949642181396484 y=0.206584930419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949642181396484 × 217)
    floor (0.949642181396484 × 131072)
    floor (124471.5)     		tx = 124471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206584930419922 × 217)
    floor (0.206584930419922 × 131072)
    floor (27077.5)     		ty = 27077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124471 / 27077 ti = "17/124471/27077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124471/27077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124471 ÷ 217
    124471 ÷ 131072     		x = 0.949638366699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27077 ÷ 217
    27077 ÷ 131072     		y = 0.206581115722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949638366699219 × 2 - 1) × π
    0.899276733398438 × 3.1415926535     		Λ = 2.82516118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206581115722656 × 2 - 1) × π
    0.586837768554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.84360522248774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82516118} λ = 2.82516118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84360522248774))-π/2
    2×atan(6.31927965161459)-π/2
    2×1.41385186180201-π/2
    2.82770372360401-1.57079632675     		φ = 1.25690740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82516118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.869812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25690740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.015489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124471 KachelY 27077 2.82516118 1.25690740 161.869812 72.015489
    Oben rechts KachelX + 1 124472 KachelY 27077 2.82520912 1.25690740 161.872559 72.015489
    Unten links KachelX 124471 KachelY + 1 27078 2.82516118 1.25689260 161.869812 72.014641
    Unten rechts KachelX + 1 124472 KachelY + 1 27078 2.82520912 1.25689260 161.872559 72.014641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25690740-1.25689260) × R
    1.47999999999815e-05 × 6371000     		dl = 94.2907999998821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25690740-1.25689260) × R
    1.47999999999815e-05 × 6371000     		dr = 94.2907999998821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82516118-2.82520912) × cos(1.25690740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308759875833167 × 6371000     		do = 94.3032135585914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82516118-2.82520912) × cos(1.25689260) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308773952671659 × 6371000     		du = 94.3075129874045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25690740)-sin(1.25689260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308759875833167-0.308773952671659)×R²
    abs(2.82520912-2.82516118)×1.40768384911949e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40768384911949e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40768384911949e-05×40589641000000     		ar = 8892.12814748381m²