Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12447 / 20833
↖ ↑ ↗
← S 43.842451°
W 43.253174°		 ← 881.10 m → S 43.842451°
W 43.242188°		 →
↑
881.05 m
↓
↑
881.05 m
↓
S 43.850374°
W 43.253174°		 ← 880.99 m →
776 241 m²		 S 43.850374°
W 43.242188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379867553710938 y=0.635787963867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379867553710938 × 215)
    floor (0.379867553710938 × 32768)
    floor (12447.5)     		tx = 12447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635787963867188 × 215)
    floor (0.635787963867188 × 32768)
    floor (20833.5)     		ty = 20833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12447 / 20833 ti = "15/12447/20833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12447/20833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12447 ÷ 215
    12447 ÷ 32768     		x = 0.379852294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20833 ÷ 215
    20833 ÷ 32768     		y = 0.635772705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379852294921875 × 2 - 1) × π
    -0.24029541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75491030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635772705078125 × 2 - 1) × π
    -0.27154541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.853085065638519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75491030} λ = -0.75491030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.853085065638519))-π/2
    2×atan(0.426098360727319)-π/2
    2×0.402800600901835-π/2
    0.805601201803671-1.57079632675     		φ = -0.76519512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75491030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.253174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76519512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.842451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12447 KachelY 20833 -0.75491030 -0.76519512 -43.253174 -43.842451
    Oben rechts KachelX + 1 12448 KachelY 20833 -0.75471855 -0.76519512 -43.242188 -43.842451
    Unten links KachelX 12447 KachelY + 1 20834 -0.75491030 -0.76533341 -43.253174 -43.850374
    Unten rechts KachelX + 1 12448 KachelY + 1 20834 -0.75471855 -0.76533341 -43.242188 -43.850374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76519512--0.76533341) × R
    0.000138289999999985 × 6371000     		dl = 881.045589999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76519512--0.76533341) × R
    0.000138289999999985 × 6371000     		dr = 881.045589999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75491030--0.75471855) × cos(-0.76519512) × R
    0.000191750000000046 × 0.721247215886136 × 6371000     		do = 881.103907879939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75491030--0.75471855) × cos(-0.76533341) × R
    0.000191750000000046 × 0.721151418584958 × 6371000     		du = 880.986878136776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76519512)-sin(-0.76533341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721247215886136-0.721151418584958)×R²
    abs(-0.75471855--0.75491030)×9.57973011780355e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57973011780355e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57973011780355e-05×40589641000000     		ar = 776241.15933707m²