Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12447 / 20638
↖ ↑ ↗
← S 42.277309°
W 43.253174°		 ← 903.89 m → S 42.277309°
W 43.242188°		 →
↑
903.79 m
↓
↑
903.79 m
↓
S 42.285437°
W 43.253174°		 ← 903.77 m →
816 872 m²		 S 42.285437°
W 43.242188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379867553710938 y=0.629837036132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379867553710938 × 215)
    floor (0.379867553710938 × 32768)
    floor (12447.5)     		tx = 12447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629837036132812 × 215)
    floor (0.629837036132812 × 32768)
    floor (20638.5)     		ty = 20638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12447 / 20638 ti = "15/12447/20638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12447/20638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12447 ÷ 215
    12447 ÷ 32768     		x = 0.379852294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20638 ÷ 215
    20638 ÷ 32768     		y = 0.62982177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379852294921875 × 2 - 1) × π
    -0.24029541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75491030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62982177734375 × 2 - 1) × π
    -0.2596435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.815694283934876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75491030} λ = -0.75491030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.815694283934876))-π/2
    2×atan(0.442332116645493)-π/2
    2×0.416459044909711-π/2
    0.832918089819422-1.57079632675     		φ = -0.73787824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75491030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.253174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73787824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.277309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12447 KachelY 20638 -0.75491030 -0.73787824 -43.253174 -42.277309
    Oben rechts KachelX + 1 12448 KachelY 20638 -0.75471855 -0.73787824 -43.242188 -42.277309
    Unten links KachelX 12447 KachelY + 1 20639 -0.75491030 -0.73802010 -43.253174 -42.285437
    Unten rechts KachelX + 1 12448 KachelY + 1 20639 -0.75471855 -0.73802010 -43.242188 -42.285437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73787824--0.73802010) × R
    0.000141859999999938 × 6371000     		dl = 903.790059999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73787824--0.73802010) × R
    0.000141859999999938 × 6371000     		dr = 903.790059999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75491030--0.75471855) × cos(-0.73787824) × R
    0.000191750000000046 × 0.739897572533072 × 6371000     		do = 903.88791558634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75491030--0.75471855) × cos(-0.73802010) × R
    0.000191750000000046 × 0.739802133094222 × 6371000     		du = 903.771323021843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73787824)-sin(-0.73802010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739897572533072-0.739802133094222)×R²
    abs(-0.75471855--0.75491030)×9.54394388503754e-05×R²
    0.000191750000000046×9.54394388503754e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.54394388503754e-05×40589641000000     		ar = 816872.227230705m²