Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12446 / 4244
↖ ↑ ↗
← N 65.183030°
E 93.471680°		 ← 1 025.47 m → N 65.183030°
E 93.493652°		 →
↑
1 025.67 m
↓
↑
1 025.67 m
↓
N 65.173806°
E 93.471680°		 ← 1 025.83 m →
1 051 972 m²		 N 65.173806°
E 93.493652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759674072265625 y=0.259063720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759674072265625 × 214)
    floor (0.759674072265625 × 16384)
    floor (12446.5)     		tx = 12446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259063720703125 × 214)
    floor (0.259063720703125 × 16384)
    floor (4244.5)     		ty = 4244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12446 / 4244 ti = "14/12446/4244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12446/4244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12446 ÷ 214
    12446 ÷ 16384     		x = 0.7596435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4244 ÷ 214
    4244 ÷ 16384     		y = 0.259033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7596435546875 × 2 - 1) × π
    0.519287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63138857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259033203125 × 2 - 1) × π
    0.48193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51403903759985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63138857} λ = 1.63138857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51403903759985))-π/2
    2×atan(4.54505140410621)-π/2
    2×1.35422740898778-π/2
    2.70845481797556-1.57079632675     		φ = 1.13765849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63138857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.471680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13765849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.183030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12446 KachelY 4244 1.63138857 1.13765849 93.471680 65.183030
    Oben rechts KachelX + 1 12447 KachelY 4244 1.63177206 1.13765849 93.493652 65.183030
    Unten links KachelX 12446 KachelY + 1 4245 1.63138857 1.13749750 93.471680 65.173806
    Unten rechts KachelX + 1 12447 KachelY + 1 4245 1.63177206 1.13749750 93.493652 65.173806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13765849-1.13749750) × R
    0.000160989999999916 × 6371000     		dl = 1025.66728999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13765849-1.13749750) × R
    0.000160989999999916 × 6371000     		dr = 1025.66728999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63138857-1.63177206) × cos(1.13765849) × R
    0.000383490000000153 × 0.419720931666003 × 6371000     		do = 1025.46838791937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63138857-1.63177206) × cos(1.13749750) × R
    0.000383490000000153 × 0.419867049315637 × 6371000     		du = 1025.82538472203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13765849)-sin(1.13749750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419720931666003-0.419867049315637)×R²
    abs(1.63177206-1.63138857)×0.000146117649633348×R²
    0.000383490000000153×0.000146117649633348×6371000²
    0.000383490000000153×0.000146117649633348×40589641000000     		ar = 1051972.46466183m²