Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12446 / 20841
↖ ↑ ↗
← S 43.905809°
W 43.264160°		 ← 880.12 m → S 43.905809°
W 43.253174°		 →
↑
880.09 m
↓
↑
880.09 m
↓
S 43.913723°
W 43.264160°		 ← 880 m →
774 535 m²		 S 43.913723°
W 43.253174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379837036132812 y=0.636032104492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379837036132812 × 215)
    floor (0.379837036132812 × 32768)
    floor (12446.5)     		tx = 12446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636032104492188 × 215)
    floor (0.636032104492188 × 32768)
    floor (20841.5)     		ty = 20841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12446 / 20841 ti = "15/12446/20841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12446/20841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12446 ÷ 215
    12446 ÷ 32768     		x = 0.37982177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20841 ÷ 215
    20841 ÷ 32768     		y = 0.636016845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37982177734375 × 2 - 1) × π
    -0.2403564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75510204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636016845703125 × 2 - 1) × π
    -0.27203369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.854619046426361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75510204} λ = -0.75510204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854619046426361))-π/2
    2×atan(0.425445235097389)-π/2
    2×0.402247705123955-π/2
    0.80449541024791-1.57079632675     		φ = -0.76630092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75510204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.264160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76630092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.905809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12446 KachelY 20841 -0.75510204 -0.76630092 -43.264160 -43.905809
    Oben rechts KachelX + 1 12447 KachelY 20841 -0.75491030 -0.76630092 -43.253174 -43.905809
    Unten links KachelX 12446 KachelY + 1 20842 -0.75510204 -0.76643906 -43.264160 -43.913723
    Unten rechts KachelX + 1 12447 KachelY + 1 20842 -0.75491030 -0.76643906 -43.253174 -43.913723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76630092--0.76643906) × R
    0.000138139999999898 × 6371000     		dl = 880.089939999349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76630092--0.76643906) × R
    0.000138139999999898 × 6371000     		dr = 880.089939999349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75510204--0.75491030) × cos(-0.76630092) × R
    0.000191739999999996 × 0.720480812027473 × 6371000     		do = 880.12173701208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75510204--0.75491030) × cos(-0.76643906) × R
    0.000191739999999996 × 0.720385008534475 × 6371000     		du = 880.004705808387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76630092)-sin(-0.76643906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720480812027473-0.720385008534475)×R²
    abs(-0.75491030--0.75510204)×9.58034929983143e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58034929983143e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58034929983143e-05×40589641000000     		ar = 774534.788958125m²