Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12446 / 14578
↖ ↑ ↗
← N 19.456234°
W 43.264160°		 ← 1 151.82 m → N 19.456234°
W 43.253174°		 →
↑
1 151.94 m
↓
↑
1 151.94 m
↓
N 19.445874°
W 43.264160°		 ← 1 151.89 m →
1 326 869 m²		 N 19.445874°
W 43.253174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379837036132812 y=0.444900512695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379837036132812 × 215)
    floor (0.379837036132812 × 32768)
    floor (12446.5)     		tx = 12446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444900512695312 × 215)
    floor (0.444900512695312 × 32768)
    floor (14578.5)     		ty = 14578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12446 / 14578 ti = "15/12446/14578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12446/14578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12446 ÷ 215
    12446 ÷ 32768     		x = 0.37982177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14578 ÷ 215
    14578 ÷ 32768     		y = 0.44488525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37982177734375 × 2 - 1) × π
    -0.2403564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75510204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44488525390625 × 2 - 1) × π
    0.1102294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.346296162855286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75510204} λ = -0.75510204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346296162855286))-π/2
    2×atan(1.41382127516466)-π/2
    2×0.955185831536607-π/2
    1.91037166307321-1.57079632675     		φ = 0.33957534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75510204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.264160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33957534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.456234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12446 KachelY 14578 -0.75510204 0.33957534 -43.264160 19.456234
    Oben rechts KachelX + 1 12447 KachelY 14578 -0.75491030 0.33957534 -43.253174 19.456234
    Unten links KachelX 12446 KachelY + 1 14579 -0.75510204 0.33939453 -43.264160 19.445874
    Unten rechts KachelX + 1 12447 KachelY + 1 14579 -0.75491030 0.33939453 -43.253174 19.445874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33957534-0.33939453) × R
    0.000180809999999976 × 6371000     		dl = 1151.94050999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33957534-0.33939453) × R
    0.000180809999999976 × 6371000     		dr = 1151.94050999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75510204--0.75491030) × cos(0.33957534) × R
    0.000191739999999996 × 0.942896199146282 × 6371000     		do = 1151.81893363604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75510204--0.75491030) × cos(0.33939453) × R
    0.000191739999999996 × 0.942956409141628 × 6371000     		du = 1151.89248469362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33957534)-sin(0.33939453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942896199146282-0.942956409141628)×R²
    abs(-0.75491030--0.75510204)×6.02099953461721e-05×R²
    0.000191739999999996×6.02099953461721e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.02099953461721e-05×40589641000000     		ar = 1326869.25667675m²