Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124459 / 27075
↖ ↑ ↗
← N 72.017185°
E161.836853°		 ← 94.27 m → N 72.017185°
E161.839599°		 →
↑
94.29 m
↓
↑
94.29 m
↓
N 72.016337°
E161.836853°		 ← 94.28 m →
8 889 m²		 N 72.016337°
E161.839599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949550628662109 y=0.206569671630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949550628662109 × 217)
    floor (0.949550628662109 × 131072)
    floor (124459.5)     		tx = 124459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206569671630859 × 217)
    floor (0.206569671630859 × 131072)
    floor (27075.5)     		ty = 27075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124459 / 27075 ti = "17/124459/27075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124459/27075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124459 ÷ 217
    124459 ÷ 131072     		x = 0.949546813964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27075 ÷ 217
    27075 ÷ 131072     		y = 0.206565856933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949546813964844 × 2 - 1) × π
    0.899093627929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.82458594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206565856933594 × 2 - 1) × π
    0.586868286132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.84370109628698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82458594} λ = 2.82458594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84370109628698))-π/2
    2×atan(6.31988553400691)-π/2
    2×1.4138666621185-π/2
    2.827733324237-1.57079632675     		φ = 1.25693700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82458594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.836853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25693700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.017185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124459 KachelY 27075 2.82458594 1.25693700 161.836853 72.017185
    Oben rechts KachelX + 1 124460 KachelY 27075 2.82463387 1.25693700 161.839599 72.017185
    Unten links KachelX 124459 KachelY + 1 27076 2.82458594 1.25692220 161.836853 72.016337
    Unten rechts KachelX + 1 124460 KachelY + 1 27076 2.82463387 1.25692220 161.839599 72.016337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25693700-1.25692220) × R
    1.47999999999815e-05 × 6371000     		dl = 94.2907999998821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25693700-1.25692220) × R
    1.47999999999815e-05 × 6371000     		dr = 94.2907999998821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82458594-2.82463387) × cos(1.25693700) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.308731721953296 × 6371000     		do = 94.2749453411116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82458594-2.82463387) × cos(1.25692220) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.308745798927045 × 6371000     		du = 94.2792439143921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25693700)-sin(1.25692220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308731721953296-0.308745798927045)×R²
    abs(2.82463387-2.82458594)×1.4076973749666e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.4076973749666e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.4076973749666e-05×40589641000000     		ar = 8889.46267421149m²