Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124458 / 27067
↖ ↑ ↗
← N 72.023967°
E161.834106°		 ← 94.26 m → N 72.023967°
E161.836853°		 →
↑
94.23 m
↓
↑
94.23 m
↓
N 72.023120°
E161.834106°		 ← 94.26 m →
8 882 m²		 N 72.023120°
E161.836853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949542999267578 y=0.206508636474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949542999267578 × 217)
    floor (0.949542999267578 × 131072)
    floor (124458.5)     		tx = 124458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206508636474609 × 217)
    floor (0.206508636474609 × 131072)
    floor (27067.5)     		ty = 27067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124458 / 27067 ti = "17/124458/27067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124458/27067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124458 ÷ 217
    124458 ÷ 131072     		x = 0.949539184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27067 ÷ 217
    27067 ÷ 131072     		y = 0.206504821777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949539184570312 × 2 - 1) × π
    0.899078369140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82453800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206504821777344 × 2 - 1) × π
    0.586990356445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.84408459148394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82453800} λ = 2.82453800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84408459148394))-π/2
    2×atan(6.32230964454221)-π/2
    2×1.41392584988973-π/2
    2.82785169977946-1.57079632675     		φ = 1.25705537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82453800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.834106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25705537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.023967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124458 KachelY 27067 2.82453800 1.25705537 161.834106 72.023967
    Oben rechts KachelX + 1 124459 KachelY 27067 2.82458594 1.25705537 161.836853 72.023967
    Unten links KachelX 124458 KachelY + 1 27068 2.82453800 1.25704058 161.834106 72.023120
    Unten rechts KachelX + 1 124459 KachelY + 1 27068 2.82458594 1.25704058 161.836853 72.023120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25705537-1.25704058) × R
    1.47900000000423e-05 × 6371000     		dl = 94.2270900002693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25705537-1.25704058) × R
    1.47900000000423e-05 × 6371000     		dr = 94.2270900002693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82453800-2.82458594) × cos(1.25705537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308619132264643 × 6371000     		do = 94.2602268500246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82453800-2.82458594) × cos(1.25704058) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308633200267355 × 6371000     		du = 94.2645235801632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25705537)-sin(1.25704058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308619132264643-0.308633200267355)×R²
    abs(2.82458594-2.82453800)×1.4068002711809e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4068002711809e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4068002711809e-05×40589641000000     		ar = 8882.06931320835m²