Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124457 / 27145
↖ ↑ ↗
← N 71.957733°
E161.831360°		 ← 94.60 m → N 71.957733°
E161.834106°		 →
↑
94.61 m
↓
↑
94.61 m
↓
N 71.956883°
E161.831360°		 ← 94.60 m →
8 950 m²		 N 71.956883°
E161.834106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949535369873047 y=0.207103729248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949535369873047 × 217)
    floor (0.949535369873047 × 131072)
    floor (124457.5)     		tx = 124457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207103729248047 × 217)
    floor (0.207103729248047 × 131072)
    floor (27145.5)     		ty = 27145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124457 / 27145 ti = "17/124457/27145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124457/27145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124457 ÷ 217
    124457 ÷ 131072     		x = 0.949531555175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27145 ÷ 217
    27145 ÷ 131072     		y = 0.207099914550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949531555175781 × 2 - 1) × π
    0.899063110351562 × 3.1415926535     		Λ = 2.82449006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207099914550781 × 2 - 1) × π
    0.585800170898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.84034551331358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82449006} λ = 2.82449006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84034551331358))-π/2
    2×atan(6.29871417470721)-π/2
    2×1.41334784725263-π/2
    2.82669569450527-1.57079632675     		φ = 1.25589937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82449006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.831360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25589937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.957733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124457 KachelY 27145 2.82449006 1.25589937 161.831360 71.957733
    Oben rechts KachelX + 1 124458 KachelY 27145 2.82453800 1.25589937 161.834106 71.957733
    Unten links KachelX 124457 KachelY + 1 27146 2.82449006 1.25588452 161.831360 71.956883
    Unten rechts KachelX + 1 124458 KachelY + 1 27146 2.82453800 1.25588452 161.834106 71.956883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25589937-1.25588452) × R
    1.48500000001217e-05 × 6371000     		dl = 94.6093500007754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25589937-1.25588452) × R
    1.48500000001217e-05 × 6371000     		dr = 94.6093500007754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82449006-2.82453800) × cos(1.25589937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309718496476692 × 6371000     		do = 94.5960009780189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82449006-2.82453800) × cos(1.25588452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309732616242772 × 6371000     		du = 94.6003135180226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25589937)-sin(1.25588452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309718496476692-0.309732616242772)×R²
    abs(2.82453800-2.82449006)×1.41197660801229e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41197660801229e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41197660801229e-05×40589641000000     		ar = 8949.87016882155m²