Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124455 / 27100
↖ ↑ ↗
← N 71.995974°
E161.825867°		 ← 94.40 m → N 71.995974°
E161.828614°		 →
↑
94.42 m
↓
↑
94.42 m
↓
N 71.995125°
E161.825867°		 ← 94.41 m →
8 913 m²		 N 71.995125°
E161.828614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949520111083984 y=0.206760406494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949520111083984 × 217)
    floor (0.949520111083984 × 131072)
    floor (124455.5)     		tx = 124455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206760406494141 × 217)
    floor (0.206760406494141 × 131072)
    floor (27100.5)     		ty = 27100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124455 / 27100 ti = "17/124455/27100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124455/27100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124455 ÷ 217
    124455 ÷ 131072     		x = 0.949516296386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27100 ÷ 217
    27100 ÷ 131072     		y = 0.206756591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949516296386719 × 2 - 1) × π
    0.899032592773438 × 3.1415926535     		Λ = 2.82439419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206756591796875 × 2 - 1) × π
    0.58648681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84250267379648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82439419} λ = 2.82439419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84250267379648))-π/2
    2×atan(6.31231617759498)-π/2
    2×1.41368156112542-π/2
    2.82736312225084-1.57079632675     		φ = 1.25656680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82439419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.825867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25656680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.995974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124455 KachelY 27100 2.82439419 1.25656680 161.825867 71.995974
    Oben rechts KachelX + 1 124456 KachelY 27100 2.82444213 1.25656680 161.828614 71.995974
    Unten links KachelX 124455 KachelY + 1 27101 2.82439419 1.25655198 161.825867 71.995125
    Unten rechts KachelX + 1 124456 KachelY + 1 27101 2.82444213 1.25655198 161.828614 71.995125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25656680-1.25655198) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dl = 94.4182200005224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25656680-1.25655198) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dr = 94.4182200005224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82439419-2.82444213) × cos(1.25656680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309083816208608 × 6371000     		do = 94.4021532874763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82439419-2.82444213) × cos(1.25655198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309097910510431 × 6371000     		du = 94.4064580500402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25656680)-sin(1.25655198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309083816208608-0.309097910510431)×R²
    abs(2.82444213-2.82439419)×1.40943018223649e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40943018223649e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40943018223649e-05×40589641000000     		ar = 8913.48650189356m²