Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124455 / 27072
↖ ↑ ↗
← N 72.019729°
E161.825867°		 ← 94.28 m → N 72.019729°
E161.828614°		 →
↑
94.23 m
↓
↑
94.23 m
↓
N 72.018881°
E161.825867°		 ← 94.29 m →
8 884 m²		 N 72.018881°
E161.828614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949520111083984 y=0.206546783447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949520111083984 × 217)
    floor (0.949520111083984 × 131072)
    floor (124455.5)     		tx = 124455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206546783447266 × 217)
    floor (0.206546783447266 × 131072)
    floor (27072.5)     		ty = 27072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124455 / 27072 ti = "17/124455/27072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124455/27072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124455 ÷ 217
    124455 ÷ 131072     		x = 0.949516296386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27072 ÷ 217
    27072 ÷ 131072     		y = 0.20654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949516296386719 × 2 - 1) × π
    0.899032592773438 × 3.1415926535     		Λ = 2.82439419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20654296875 × 2 - 1) × π
    0.5869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84384490698584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82439419} λ = 2.82439419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84384490698584))-π/2
    2×atan(6.32079446651781)-π/2
    2×1.4138888600628-π/2
    2.8277777201256-1.57079632675     		φ = 1.25698139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82439419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.825867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25698139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.019729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124455 KachelY 27072 2.82439419 1.25698139 161.825867 72.019729
    Oben rechts KachelX + 1 124456 KachelY 27072 2.82444213 1.25698139 161.828614 72.019729
    Unten links KachelX 124455 KachelY + 1 27073 2.82439419 1.25696660 161.825867 72.018881
    Unten rechts KachelX + 1 124456 KachelY + 1 27073 2.82444213 1.25696660 161.828614 72.018881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25698139-1.25696660) × R
    1.47900000000423e-05 × 6371000     		dl = 94.2270900002693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25698139-1.25696660) × R
    1.47900000000423e-05 × 6371000     		dr = 94.2270900002693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82439419-2.82444213) × cos(1.25698139) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30868950013794 × 6371000     		do = 94.2817190097986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82439419-2.82444213) × cos(1.25696660) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308703567802926 × 6371000     		du = 94.2860156367869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25698139)-sin(1.25696660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30868950013794-0.308703567802926)×R²
    abs(2.82444213-2.82439419)×1.40676649855731e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40676649855731e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40676649855731e-05×40589641000000     		ar = 8884.09445187548m²