Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124454 / 27110
↖ ↑ ↗
← N 71.987483°
E161.823120°		 ← 94.45 m → N 71.987483°
E161.825867°		 →
↑
94.48 m
↓
↑
94.48 m
↓
N 71.986633°
E161.823120°		 ← 94.45 m →
8 924 m²		 N 71.986633°
E161.825867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949512481689453 y=0.206836700439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949512481689453 × 217)
    floor (0.949512481689453 × 131072)
    floor (124454.5)     		tx = 124454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206836700439453 × 217)
    floor (0.206836700439453 × 131072)
    floor (27110.5)     		ty = 27110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124454 / 27110 ti = "17/124454/27110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124454/27110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124454 ÷ 217
    124454 ÷ 131072     		x = 0.949508666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27110 ÷ 217
    27110 ÷ 131072     		y = 0.206832885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949508666992188 × 2 - 1) × π
    0.899017333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82434625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206832885742188 × 2 - 1) × π
    0.586334228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84202330480028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82434625} λ = 2.82434625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84202330480028))-π/2
    2×atan(6.30929097407754)-π/2
    2×1.41360746163573-π/2
    2.82721492327146-1.57079632675     		φ = 1.25641860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82434625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.823120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25641860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.987483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124454 KachelY 27110 2.82434625 1.25641860 161.823120 71.987483
    Oben rechts KachelX + 1 124455 KachelY 27110 2.82439419 1.25641860 161.825867 71.987483
    Unten links KachelX 124454 KachelY + 1 27111 2.82434625 1.25640377 161.823120 71.986633
    Unten rechts KachelX + 1 124455 KachelY + 1 27111 2.82439419 1.25640377 161.825867 71.986633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25641860-1.25640377) × R
    1.48300000000212e-05 × 6371000     		dl = 94.4819300001352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25641860-1.25640377) × R
    1.48300000000212e-05 × 6371000     		dr = 94.4819300001352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82434625-2.82439419) × cos(1.25641860) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309224756171504 × 6371000     		do = 94.4451999799391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82434625-2.82439419) × cos(1.25640377) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309238859304151 × 6371000     		du = 94.4495074396644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25641860)-sin(1.25640377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309224756171504-0.309238859304151)×R²
    abs(2.82439419-2.82434625)×1.41031326478247e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41031326478247e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41031326478247e-05×40589641000000     		ar = 8923.56826198507m²