Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124453 / 27099
↖ ↑ ↗
← N 71.996823°
E161.820373°		 ← 94.40 m → N 71.996823°
E161.823120°		 →
↑
94.35 m
↓
↑
94.35 m
↓
N 71.995974°
E161.820373°		 ← 94.40 m →
8 907 m²		 N 71.995974°
E161.823120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949504852294922 y=0.206752777099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949504852294922 × 217)
    floor (0.949504852294922 × 131072)
    floor (124453.5)     		tx = 124453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206752777099609 × 217)
    floor (0.206752777099609 × 131072)
    floor (27099.5)     		ty = 27099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124453 / 27099 ti = "17/124453/27099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124453/27099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124453 ÷ 217
    124453 ÷ 131072     		x = 0.949501037597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27099 ÷ 217
    27099 ÷ 131072     		y = 0.206748962402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949501037597656 × 2 - 1) × π
    0.899002075195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.82429831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206748962402344 × 2 - 1) × π
    0.586502075195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.8425506106961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82429831} λ = 2.82429831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8425506106961))-π/2
    2×atan(6.31261877771475)-π/2
    2×1.41368896921659-π/2
    2.82737793843319-1.57079632675     		φ = 1.25658161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82429831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.820373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25658161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.996823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124453 KachelY 27099 2.82429831 1.25658161 161.820373 71.996823
    Oben rechts KachelX + 1 124454 KachelY 27099 2.82434625 1.25658161 161.823120 71.996823
    Unten links KachelX 124453 KachelY + 1 27100 2.82429831 1.25656680 161.820373 71.995974
    Unten rechts KachelX + 1 124454 KachelY + 1 27100 2.82434625 1.25656680 161.823120 71.995974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25658161-1.25656680) × R
    1.48099999999207e-05 × 6371000     		dl = 94.3545099994949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25658161-1.25656680) × R
    1.48099999999207e-05 × 6371000     		dr = 94.3545099994949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82429831-2.82434625) × cos(1.25658161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309069731349295 × 6371000     		do = 94.3978514088978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82429831-2.82434625) × cos(1.25656680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309083816208608 × 6371000     		du = 94.4021532874763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25658161)-sin(1.25656680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309069731349295-0.309083816208608)×R²
    abs(2.82434625-2.82429831)×1.40848593132015e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40848593132015e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40848593132015e-05×40589641000000     		ar = 8907.06596552545m²