Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124453 / 27096
↖ ↑ ↗
← N 71.999370°
E161.820373°		 ← 94.38 m → N 71.999370°
E161.823120°		 →
↑
94.42 m
↓
↑
94.42 m
↓
N 71.998521°
E161.820373°		 ← 94.39 m →
8 912 m²		 N 71.998521°
E161.823120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949504852294922 y=0.206729888916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949504852294922 × 217)
    floor (0.949504852294922 × 131072)
    floor (124453.5)     		tx = 124453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206729888916016 × 217)
    floor (0.206729888916016 × 131072)
    floor (27096.5)     		ty = 27096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124453 / 27096 ti = "17/124453/27096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124453/27096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124453 ÷ 217
    124453 ÷ 131072     		x = 0.949501037597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27096 ÷ 217
    27096 ÷ 131072     		y = 0.20672607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949501037597656 × 2 - 1) × π
    0.899002075195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.82429831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20672607421875 × 2 - 1) × π
    0.5865478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84269442139496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82429831} λ = 2.82429831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84269442139496))-π/2
    2×atan(6.31352666511321)-π/2
    2×1.41371119146381-π/2
    2.82742238292761-1.57079632675     		φ = 1.25662606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82429831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.820373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25662606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.999370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124453 KachelY 27096 2.82429831 1.25662606 161.820373 71.999370
    Oben rechts KachelX + 1 124454 KachelY 27096 2.82434625 1.25662606 161.823120 71.999370
    Unten links KachelX 124453 KachelY + 1 27097 2.82429831 1.25661124 161.820373 71.998521
    Unten rechts KachelX + 1 124454 KachelY + 1 27097 2.82434625 1.25661124 161.823120 71.998521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25662606-1.25661124) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dl = 94.4182200005224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25662606-1.25661124) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dr = 94.4182200005224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82429831-2.82434625) × cos(1.25662606) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309027457343564 × 6371000     		do = 94.3849398394147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82429831-2.82434625) × cos(1.25661124) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309041551916816 × 6371000     		du = 94.38924468488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25662606)-sin(1.25661124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309027457343564-0.309041551916816)×R²
    abs(2.82434625-2.82429831)×1.40945732514663e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40945732514663e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40945732514663e-05×40589641000000     		ar = 8911.86124276706m²