Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 124452 / 27141
↖ ↑ ↗
← N 71.961136°
E161.817627°		 ← 94.56 m → N 71.961136°
E161.820373°		 →
↑
94.55 m
↓
↑
94.55 m
↓
N 71.960285°
E161.817627°		 ← 94.56 m →
8 940 m²		 N 71.960285°
E161.820373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949497222900391 y=0.207073211669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949497222900391 × 217)
    floor (0.949497222900391 × 131072)
    floor (124452.5)     		tx = 124452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207073211669922 × 217)
    floor (0.207073211669922 × 131072)
    floor (27141.5)     		ty = 27141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124452 / 27141 ti = "17/124452/27141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124452/27141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124452 ÷ 217
    124452 ÷ 131072     		x = 0.949493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27141 ÷ 217
    27141 ÷ 131072     		y = 0.207069396972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949493408203125 × 2 - 1) × π
    0.89898681640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82425038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207069396972656 × 2 - 1) × π
    0.585861206054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.84053726091206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82425038} λ = 2.82425038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84053726091206))-π/2
    2×atan(6.29992205382398)-π/2
    2×1.41337753843506-π/2
    2.82675507687012-1.57079632675     		φ = 1.25595875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82425038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.817627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25595875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.961136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124452 KachelY 27141 2.82425038 1.25595875 161.817627 71.961136
    Oben rechts KachelX + 1 124453 KachelY 27141 2.82429831 1.25595875 161.820373 71.961136
    Unten links KachelX 124452 KachelY + 1 27142 2.82425038 1.25594391 161.817627 71.960285
    Unten rechts KachelX + 1 124453 KachelY + 1 27142 2.82429831 1.25594391 161.820373 71.960285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25595875-1.25594391) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dl = 94.545639999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25595875-1.25594391) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dr = 94.545639999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82425038-2.82429831) × cos(1.25595875) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309662035746338 × 6371000     		do = 94.5590278494921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82425038-2.82429831) × cos(1.25594391) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309676146277086 × 6371000     		du = 94.5633366698057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25595875)-sin(1.25594391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309662035746338-0.309676146277086)×R²
    abs(2.82429831-2.82425038)×1.41105307479572e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.41105307479572e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.41105307479572e-05×40589641000000     		ar = 8940.34749595329m²