Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124450 / 27070
↖ ↑ ↗
← N 72.021425°
E161.812134°		 ← 94.27 m → N 72.021425°
E161.814880°		 →
↑
94.29 m
↓
↑
94.29 m
↓
N 72.020577°
E161.812134°		 ← 94.28 m →
8 889 m²		 N 72.020577°
E161.814880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949481964111328 y=0.206531524658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949481964111328 × 217)
    floor (0.949481964111328 × 131072)
    floor (124450.5)     		tx = 124450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206531524658203 × 217)
    floor (0.206531524658203 × 131072)
    floor (27070.5)     		ty = 27070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124450 / 27070 ti = "17/124450/27070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124450/27070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124450 ÷ 217
    124450 ÷ 131072     		x = 0.949478149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27070 ÷ 217
    27070 ÷ 131072     		y = 0.206527709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949478149414062 × 2 - 1) × π
    0.898956298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.82415450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206527709960938 × 2 - 1) × π
    0.586944580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84394078078508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82415450} λ = 2.82415450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84394078078508))-π/2
    2×atan(6.32140049414816)-π/2
    2×1.41390365700554-π/2
    2.82780731401108-1.57079632675     		φ = 1.25701099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82415450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.812134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25701099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.021425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124450 KachelY 27070 2.82415450 1.25701099 161.812134 72.021425
    Oben rechts KachelX + 1 124451 KachelY 27070 2.82420244 1.25701099 161.814880 72.021425
    Unten links KachelX 124450 KachelY + 1 27071 2.82415450 1.25699619 161.812134 72.020577
    Unten rechts KachelX + 1 124451 KachelY + 1 27071 2.82420244 1.25699619 161.814880 72.020577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25701099-1.25699619) × R
    1.47999999999815e-05 × 6371000     		dl = 94.2907999998821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25701099-1.25699619) × R
    1.47999999999815e-05 × 6371000     		dr = 94.2907999998821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82415450-2.82420244) × cos(1.25701099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30866134558196 × 6371000     		do = 94.2731198837041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82415450-2.82420244) × cos(1.25699619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308675422893756 × 6371000     		du = 94.2774194570766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25701099)-sin(1.25699619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30866134558196-0.308675422893756)×R²
    abs(2.82420244-2.82415450)×1.40773117960902e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40773117960902e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40773117960902e-05×40589641000000     		ar = 8889.29059766449m²