Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124448 / 27071
↖ ↑ ↗
← N 72.020577°
E161.806641°		 ← 94.28 m → N 72.020577°
E161.809387°		 →
↑
94.29 m
↓
↑
94.29 m
↓
N 72.019729°
E161.806641°		 ← 94.28 m →
8 890 m²		 N 72.019729°
E161.809387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949466705322266 y=0.206539154052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949466705322266 × 217)
    floor (0.949466705322266 × 131072)
    floor (124448.5)     		tx = 124448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206539154052734 × 217)
    floor (0.206539154052734 × 131072)
    floor (27071.5)     		ty = 27071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124448 / 27071 ti = "17/124448/27071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124448/27071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124448 ÷ 217
    124448 ÷ 131072     		x = 0.949462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27071 ÷ 217
    27071 ÷ 131072     		y = 0.206535339355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949462890625 × 2 - 1) × π
    0.89892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.82405863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206535339355469 × 2 - 1) × π
    0.586929321289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.84389284388546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82405863} λ = 2.82405863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84389284388546))-π/2
    2×atan(6.32109747307022)-π/2
    2×1.41389625870284-π/2
    2.82779251740568-1.57079632675     		φ = 1.25699619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82405863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.806641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25699619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.020577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124448 KachelY 27071 2.82405863 1.25699619 161.806641 72.020577
    Oben rechts KachelX + 1 124449 KachelY 27071 2.82410657 1.25699619 161.809387 72.020577
    Unten links KachelX 124448 KachelY + 1 27072 2.82405863 1.25698139 161.806641 72.019729
    Unten rechts KachelX + 1 124449 KachelY + 1 27072 2.82410657 1.25698139 161.809387 72.019729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25699619-1.25698139) × R
    1.47999999999815e-05 × 6371000     		dl = 94.2907999998821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25699619-1.25698139) × R
    1.47999999999815e-05 × 6371000     		dr = 94.2907999998821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82405863-2.82410657) × cos(1.25699619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308675422893756 × 6371000     		do = 94.2774194570766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82405863-2.82410657) × cos(1.25698139) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30868950013794 × 6371000     		du = 94.2817190097986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25699619)-sin(1.25698139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308675422893756-0.30868950013794)×R²
    abs(2.82410657-2.82405863)×1.40772441838966e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40772441838966e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40772441838966e-05×40589641000000     		ar = 8889.69600682874m²