Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124447 / 27073
↖ ↑ ↗
← N 72.018881°
E161.803894°		 ← 94.29 m → N 72.018881°
E161.806641°		 →
↑
94.29 m
↓
↑
94.29 m
↓
N 72.018033°
E161.803894°		 ← 94.29 m →
8 891 m²		 N 72.018033°
E161.806641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949459075927734 y=0.206554412841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949459075927734 × 217)
    floor (0.949459075927734 × 131072)
    floor (124447.5)     		tx = 124447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206554412841797 × 217)
    floor (0.206554412841797 × 131072)
    floor (27073.5)     		ty = 27073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124447 / 27073 ti = "17/124447/27073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124447/27073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124447 ÷ 217
    124447 ÷ 131072     		x = 0.949455261230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27073 ÷ 217
    27073 ÷ 131072     		y = 0.206550598144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949455261230469 × 2 - 1) × π
    0.898910522460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.82401069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206550598144531 × 2 - 1) × π
    0.586898803710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.84379697008622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82401069} λ = 2.82401069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84379697008622))-π/2
    2×atan(6.32049147449026)-π/2
    2×1.41388146108541-π/2
    2.82776292217081-1.57079632675     		φ = 1.25696660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82401069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.803894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25696660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.018881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124447 KachelY 27073 2.82401069 1.25696660 161.803894 72.018881
    Oben rechts KachelX + 1 124448 KachelY 27073 2.82405863 1.25696660 161.806641 72.018881
    Unten links KachelX 124447 KachelY + 1 27074 2.82401069 1.25695180 161.803894 72.018033
    Unten rechts KachelX + 1 124448 KachelY + 1 27074 2.82405863 1.25695180 161.806641 72.018033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25696660-1.25695180) × R
    1.47999999999815e-05 × 6371000     		dl = 94.2907999998821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25696660-1.25695180) × R
    1.47999999999815e-05 × 6371000     		dr = 94.2907999998821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82401069-2.82405863) × cos(1.25696660) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308703567802926 × 6371000     		do = 94.2860156367869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82401069-2.82405863) × cos(1.25695180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308717644911921 × 6371000     		du = 94.290315148219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25696660)-sin(1.25695180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308703567802926-0.308717644911921)×R²
    abs(2.82405863-2.82401069)×1.40771089957581e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40771089957581e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40771089957581e-05×40589641000000     		ar = 8890.50654560837m²