Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 124446 / 27131
↖ ↑ ↗
← N 71.969639°
E161.801148°		 ← 94.52 m → N 71.969639°
E161.803894°		 →
↑
94.55 m
↓
↑
94.55 m
↓
N 71.968789°
E161.801148°		 ← 94.52 m →
8 936 m²		 N 71.968789°
E161.803894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949451446533203 y=0.206996917724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949451446533203 × 217)
    floor (0.949451446533203 × 131072)
    floor (124446.5)     		tx = 124446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206996917724609 × 217)
    floor (0.206996917724609 × 131072)
    floor (27131.5)     		ty = 27131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124446 / 27131 ti = "17/124446/27131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124446/27131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124446 ÷ 217
    124446 ÷ 131072     		x = 0.949447631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27131 ÷ 217
    27131 ÷ 131072     		y = 0.206993103027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949447631835938 × 2 - 1) × π
    0.898895263671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.82396276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206993103027344 × 2 - 1) × π
    0.586013793945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.84101662990826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82396276} λ = 2.82396276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84101662990826))-π/2
    2×atan(6.30294276509488)-π/2
    2×1.41345174271171-π/2
    2.82690348542343-1.57079632675     		φ = 1.25610716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82396276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.801148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25610716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.969639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124446 KachelY 27131 2.82396276 1.25610716 161.801148 71.969639
    Oben rechts KachelX + 1 124447 KachelY 27131 2.82401069 1.25610716 161.803894 71.969639
    Unten links KachelX 124446 KachelY + 1 27132 2.82396276 1.25609232 161.801148 71.968789
    Unten rechts KachelX + 1 124447 KachelY + 1 27132 2.82401069 1.25609232 161.803894 71.968789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25610716-1.25609232) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dl = 94.545639999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25610716-1.25609232) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dr = 94.545639999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82396276-2.82401069) × cos(1.25610716) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309520917179691 × 6371000     		do = 94.5159355975101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82396276-2.82401069) × cos(1.25609232) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3095350283923 × 6371000     		du = 94.5202446260382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25610716)-sin(1.25609232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309520917179691-0.3095350283923)×R²
    abs(2.82401069-2.82396276)×1.41112126091358e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.41112126091358e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.41112126091358e-05×40589641000000     		ar = 8936.27332144057m²