Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124444 / 27132
↖ ↑ ↗
← N 71.968789°
E161.795654°		 ← 94.54 m → N 71.968789°
E161.798401°		 →
↑
94.55 m
↓
↑
94.55 m
↓
N 71.967938°
E161.795654°		 ← 94.54 m →
8 939 m²		 N 71.967938°
E161.798401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949436187744141 y=0.207004547119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949436187744141 × 217)
    floor (0.949436187744141 × 131072)
    floor (124444.5)     		tx = 124444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207004547119141 × 217)
    floor (0.207004547119141 × 131072)
    floor (27132.5)     		ty = 27132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124444 / 27132 ti = "17/124444/27132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124444/27132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124444 ÷ 217
    124444 ÷ 131072     		x = 0.949432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27132 ÷ 217
    27132 ÷ 131072     		y = 0.207000732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949432373046875 × 2 - 1) × π
    0.89886474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82386688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207000732421875 × 2 - 1) × π
    0.58599853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84096869300864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82386688} λ = 2.82386688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84096869300864))-π/2
    2×atan(6.30264062880204)-π/2
    2×1.41344432380603-π/2
    2.82688864761205-1.57079632675     		φ = 1.25609232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82386688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.795654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25609232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.968789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124444 KachelY 27132 2.82386688 1.25609232 161.795654 71.968789
    Oben rechts KachelX + 1 124445 KachelY 27132 2.82391482 1.25609232 161.798401 71.968789
    Unten links KachelX 124444 KachelY + 1 27133 2.82386688 1.25607748 161.795654 71.967938
    Unten rechts KachelX + 1 124445 KachelY + 1 27133 2.82391482 1.25607748 161.798401 71.967938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25609232-1.25607748) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dl = 94.545639999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25609232-1.25607748) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dr = 94.545639999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82386688-2.82391482) × cos(1.25609232) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3095350283923 × 6371000     		do = 94.5399651025772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82386688-2.82391482) × cos(1.25607748) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309549139536742 × 6371000     		du = 94.5442750093106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25609232)-sin(1.25607748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3095350283923-0.309549139536742)×R²
    abs(2.82391482-2.82386688)×1.41111444416642e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41111444416642e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41111444416642e-05×40589641000000     		ar = 8938.54524776191m²