Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 124444 / 27116
↖ ↑ ↗
← N 71.982386°
E161.795654°		 ← 94.47 m → N 71.982386°
E161.798401°		 →
↑
94.42 m
↓
↑
94.42 m
↓
N 71.981537°
E161.795654°		 ← 94.48 m →
8 920 m²		 N 71.981537°
E161.798401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949436187744141 y=0.206882476806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949436187744141 × 217)
    floor (0.949436187744141 × 131072)
    floor (124444.5)     		tx = 124444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206882476806641 × 217)
    floor (0.206882476806641 × 131072)
    floor (27116.5)     		ty = 27116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124444 / 27116 ti = "17/124444/27116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124444/27116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124444 ÷ 217
    124444 ÷ 131072     		x = 0.949432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27116 ÷ 217
    27116 ÷ 131072     		y = 0.206878662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949432373046875 × 2 - 1) × π
    0.89886474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82386688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206878662109375 × 2 - 1) × π
    0.58624267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84173568340256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82386688} λ = 2.82386688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84173568340256))-π/2
    2×atan(6.30747654793535)-π/2
    2×1.41356298572466-π/2
    2.82712597144932-1.57079632675     		φ = 1.25632964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82386688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.795654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25632964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.982386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124444 KachelY 27116 2.82386688 1.25632964 161.795654 71.982386
    Oben rechts KachelX + 1 124445 KachelY 27116 2.82391482 1.25632964 161.798401 71.982386
    Unten links KachelX 124444 KachelY + 1 27117 2.82386688 1.25631482 161.795654 71.981537
    Unten rechts KachelX + 1 124445 KachelY + 1 27117 2.82391482 1.25631482 161.798401 71.981537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25632964-1.25631482) × R
    1.48199999998599e-05 × 6371000     		dl = 94.4182199991077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25632964-1.25631482) × R
    1.48199999998599e-05 × 6371000     		dr = 94.4182199991077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82386688-2.82391482) × cos(1.25632964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309309354927941 × 6371000     		do = 94.471038617727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82386688-2.82391482) × cos(1.25631482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309323448143001 × 6371000     		du = 94.4753430483658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25632964)-sin(1.25631482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309309354927941-0.309323448143001)×R²
    abs(2.82391482-2.82386688)×1.40932150606843e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40932150606843e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40932150606843e-05×40589641000000     		ar = 8919.99051622154m²