Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124443 / 27158
↖ ↑ ↗
← N 71.946671°
E161.792908°		 ← 94.63 m → N 71.946671°
E161.795654°		 →
↑
94.67 m
↓
↑
94.67 m
↓
N 71.945820°
E161.792908°		 ← 94.64 m →
8 959 m²		 N 71.945820°
E161.795654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949428558349609 y=0.207202911376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949428558349609 × 217)
    floor (0.949428558349609 × 131072)
    floor (124443.5)     		tx = 124443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207202911376953 × 217)
    floor (0.207202911376953 × 131072)
    floor (27158.5)     		ty = 27158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124443 / 27158 ti = "17/124443/27158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124443/27158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124443 ÷ 217
    124443 ÷ 131072     		x = 0.949424743652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27158 ÷ 217
    27158 ÷ 131072     		y = 0.207199096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949424743652344 × 2 - 1) × π
    0.898849487304688 × 3.1415926535     		Λ = 2.82381895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207199096679688 × 2 - 1) × π
    0.585601806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83972233361852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82381895} λ = 2.82381895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83972233361852))-π/2
    2×atan(6.29479016673658)-π/2
    2×1.41325131351639-π/2
    2.82650262703277-1.57079632675     		φ = 1.25570630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82381895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.792908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25570630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.946671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124443 KachelY 27158 2.82381895 1.25570630 161.792908 71.946671
    Oben rechts KachelX + 1 124444 KachelY 27158 2.82386688 1.25570630 161.795654 71.946671
    Unten links KachelX 124443 KachelY + 1 27159 2.82381895 1.25569144 161.792908 71.945820
    Unten rechts KachelX + 1 124444 KachelY + 1 27159 2.82386688 1.25569144 161.795654 71.945820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25570630-1.25569144) × R
    1.48599999998389e-05 × 6371000     		dl = 94.6730599989736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25570630-1.25569144) × R
    1.48599999998389e-05 × 6371000     		dr = 94.6730599989736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82381895-2.82386688) × cos(1.25570630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309902067122576 × 6371000     		do = 94.6323243178041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82381895-2.82386688) × cos(1.25569144) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309916195508021 × 6371000     		du = 94.6366385902641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25570630)-sin(1.25569144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309902067122576-0.309916195508021)×R²
    abs(2.82386688-2.82381895)×1.41283854445673e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.41283854445673e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.41283854445673e-05×40589641000000     		ar = 8959.33594081376m²