Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124443 / 27119
↖ ↑ ↗
← N 71.979838°
E161.792908°		 ← 94.46 m → N 71.979838°
E161.795654°		 →
↑
94.48 m
↓
↑
94.48 m
↓
N 71.978988°
E161.792908°		 ← 94.47 m →
8 925 m²		 N 71.978988°
E161.795654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949428558349609 y=0.206905364990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949428558349609 × 217)
    floor (0.949428558349609 × 131072)
    floor (124443.5)     		tx = 124443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206905364990234 × 217)
    floor (0.206905364990234 × 131072)
    floor (27119.5)     		ty = 27119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124443 / 27119 ti = "17/124443/27119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124443/27119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124443 ÷ 217
    124443 ÷ 131072     		x = 0.949424743652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27119 ÷ 217
    27119 ÷ 131072     		y = 0.206901550292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949424743652344 × 2 - 1) × π
    0.898849487304688 × 3.1415926535     		Λ = 2.82381895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206901550292969 × 2 - 1) × π
    0.586196899414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.8415918727037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82381895} λ = 2.82381895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8415918727037))-π/2
    2×atan(6.30656953054592)-π/2
    2×1.41354074320685-π/2
    2.82708148641369-1.57079632675     		φ = 1.25628516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82381895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.792908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25628516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.979838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124443 KachelY 27119 2.82381895 1.25628516 161.792908 71.979838
    Oben rechts KachelX + 1 124444 KachelY 27119 2.82386688 1.25628516 161.795654 71.979838
    Unten links KachelX 124443 KachelY + 1 27120 2.82381895 1.25627033 161.792908 71.978988
    Unten rechts KachelX + 1 124444 KachelY + 1 27120 2.82386688 1.25627033 161.795654 71.978988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25628516-1.25627033) × R
    1.48300000000212e-05 × 6371000     		dl = 94.4819300001352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25628516-1.25627033) × R
    1.48300000000212e-05 × 6371000     		dr = 94.4819300001352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82381895-2.82386688) × cos(1.25628516) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309351653388262 × 6371000     		do = 94.4642488625538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82381895-2.82386688) × cos(1.25627033) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309365755908841 × 6371000     		du = 94.4685552368659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25628516)-sin(1.25627033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309351653388262-0.309365755908841)×R²
    abs(2.82386688-2.82381895)×1.41025205787071e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.41025205787071e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.41025205787071e-05×40589641000000     		ar = 8925.36798594253m²