Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124442 / 27067
↖ ↑ ↗
← N 72.023967°
E161.790161°		 ← 94.26 m → N 72.023967°
E161.792908°		 →
↑
94.23 m
↓
↑
94.23 m
↓
N 72.023120°
E161.790161°		 ← 94.26 m →
8 882 m²		 N 72.023120°
E161.792908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949420928955078 y=0.206508636474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949420928955078 × 217)
    floor (0.949420928955078 × 131072)
    floor (124442.5)     		tx = 124442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206508636474609 × 217)
    floor (0.206508636474609 × 131072)
    floor (27067.5)     		ty = 27067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124442 / 27067 ti = "17/124442/27067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124442/27067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124442 ÷ 217
    124442 ÷ 131072     		x = 0.949417114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27067 ÷ 217
    27067 ÷ 131072     		y = 0.206504821777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949417114257812 × 2 - 1) × π
    0.898834228515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82377101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206504821777344 × 2 - 1) × π
    0.586990356445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.84408459148394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82377101} λ = 2.82377101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84408459148394))-π/2
    2×atan(6.32230964454221)-π/2
    2×1.41392584988973-π/2
    2.82785169977946-1.57079632675     		φ = 1.25705537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82377101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.790161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25705537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.023967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124442 KachelY 27067 2.82377101 1.25705537 161.790161 72.023967
    Oben rechts KachelX + 1 124443 KachelY 27067 2.82381895 1.25705537 161.792908 72.023967
    Unten links KachelX 124442 KachelY + 1 27068 2.82377101 1.25704058 161.790161 72.023120
    Unten rechts KachelX + 1 124443 KachelY + 1 27068 2.82381895 1.25704058 161.792908 72.023120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25705537-1.25704058) × R
    1.47900000000423e-05 × 6371000     		dl = 94.2270900002693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25705537-1.25704058) × R
    1.47900000000423e-05 × 6371000     		dr = 94.2270900002693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82377101-2.82381895) × cos(1.25705537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308619132264643 × 6371000     		do = 94.2602268500246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82377101-2.82381895) × cos(1.25704058) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308633200267355 × 6371000     		du = 94.2645235801632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25705537)-sin(1.25704058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308619132264643-0.308633200267355)×R²
    abs(2.82381895-2.82377101)×1.4068002711809e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4068002711809e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4068002711809e-05×40589641000000     		ar = 8882.06931320835m²