Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 124441 / 27151
↖ ↑ ↗
← N 71.952628°
E161.787414°		 ← 94.62 m → N 71.952628°
E161.790161°		 →
↑
94.61 m
↓
↑
94.61 m
↓
N 71.951777°
E161.787414°		 ← 94.63 m →
8 952 m²		 N 71.951777°
E161.790161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949413299560547 y=0.207149505615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949413299560547 × 217)
    floor (0.949413299560547 × 131072)
    floor (124441.5)     		tx = 124441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207149505615234 × 217)
    floor (0.207149505615234 × 131072)
    floor (27151.5)     		ty = 27151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124441 / 27151 ti = "17/124441/27151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124441/27151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124441 ÷ 217
    124441 ÷ 131072     		x = 0.949409484863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27151 ÷ 217
    27151 ÷ 131072     		y = 0.207145690917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949409484863281 × 2 - 1) × π
    0.898818969726562 × 3.1415926535     		Λ = 2.82372307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207145690917969 × 2 - 1) × π
    0.585708618164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.84005789191586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82372307} λ = 2.82372307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84005789191586))-π/2
    2×atan(6.29690279024139)-π/2
    2×1.41330330032792-π/2
    2.82660660065583-1.57079632675     		φ = 1.25581027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82372307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.787414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25581027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.952628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124441 KachelY 27151 2.82372307 1.25581027 161.787414 71.952628
    Oben rechts KachelX + 1 124442 KachelY 27151 2.82377101 1.25581027 161.790161 71.952628
    Unten links KachelX 124441 KachelY + 1 27152 2.82372307 1.25579542 161.787414 71.951777
    Unten rechts KachelX + 1 124442 KachelY + 1 27152 2.82377101 1.25579542 161.790161 71.951777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25581027-1.25579542) × R
    1.48499999998997e-05 × 6371000     		dl = 94.6093499993608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25581027-1.25579542) × R
    1.48499999998997e-05 × 6371000     		dr = 94.6093499993608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82372307-2.82377101) × cos(1.25581027) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.309803214048564 × 6371000     		do = 94.6218759059756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82372307-2.82377101) × cos(1.25579542) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.30981733340478 × 6371000     		du = 94.626188320796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25581027)-sin(1.25579542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309803214048564-0.30981733340478)×R²
    abs(2.82377101-2.82372307)×1.41193562151476e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.41193562151476e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.41193562151476e-05×40589641000000     		ar = 8952.31817276991m²