Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124441 / 27121
↖ ↑ ↗
← N 71.978138°
E161.787414°		 ← 94.49 m → N 71.978138°
E161.790161°		 →
↑
94.48 m
↓
↑
94.48 m
↓
N 71.977288°
E161.787414°		 ← 94.50 m →
8 928 m²		 N 71.977288°
E161.790161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949413299560547 y=0.206920623779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949413299560547 × 217)
    floor (0.949413299560547 × 131072)
    floor (124441.5)     		tx = 124441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206920623779297 × 217)
    floor (0.206920623779297 × 131072)
    floor (27121.5)     		ty = 27121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124441 / 27121 ti = "17/124441/27121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124441/27121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124441 ÷ 217
    124441 ÷ 131072     		x = 0.949409484863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27121 ÷ 217
    27121 ÷ 131072     		y = 0.206916809082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949409484863281 × 2 - 1) × π
    0.898818969726562 × 3.1415926535     		Λ = 2.82372307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206916809082031 × 2 - 1) × π
    0.586166381835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.84149599890446
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82372307} λ = 2.82372307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84149599890446))-π/2
    2×atan(6.30596492474824)-π/2
    2×1.41352591317165-π/2
    2.8270518263433-1.57079632675     		φ = 1.25625550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82372307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.787414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25625550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.978138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124441 KachelY 27121 2.82372307 1.25625550 161.787414 71.978138
    Oben rechts KachelX + 1 124442 KachelY 27121 2.82377101 1.25625550 161.790161 71.978138
    Unten links KachelX 124441 KachelY + 1 27122 2.82372307 1.25624067 161.787414 71.977288
    Unten rechts KachelX + 1 124442 KachelY + 1 27122 2.82377101 1.25624067 161.790161 71.977288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25625550-1.25624067) × R
    1.48300000000212e-05 × 6371000     		dl = 94.4819300001352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25625550-1.25624067) × R
    1.48300000000212e-05 × 6371000     		dr = 94.4819300001352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82372307-2.82377101) × cos(1.25625550) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.309379858361381 × 6371000     		do = 94.4925721819333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82372307-2.82377101) × cos(1.25624067) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.30939396074588 × 6371000     		du = 94.4968794131546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25625550)-sin(1.25624067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309379858361381-0.30939396074588)×R²
    abs(2.82377101-2.82372307)×1.41023844987265e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.41023844987265e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.41023844987265e-05×40589641000000     		ar = 8928.04406830792m²