Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124440 / 27149
↖ ↑ ↗
← N 71.954330°
E161.784668°		 ← 94.59 m → N 71.954330°
E161.787414°		 →
↑
94.61 m
↓
↑
94.61 m
↓
N 71.953479°
E161.784668°		 ← 94.60 m →
8 950 m²		 N 71.953479°
E161.787414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949405670166016 y=0.207134246826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949405670166016 × 217)
    floor (0.949405670166016 × 131072)
    floor (124440.5)     		tx = 124440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207134246826172 × 217)
    floor (0.207134246826172 × 131072)
    floor (27149.5)     		ty = 27149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124440 / 27149 ti = "17/124440/27149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124440/27149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124440 ÷ 217
    124440 ÷ 131072     		x = 0.94940185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27149 ÷ 217
    27149 ÷ 131072     		y = 0.207130432128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94940185546875 × 2 - 1) × π
    0.8988037109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82367514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207130432128906 × 2 - 1) × π
    0.585739135742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.8401537657151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82367514} λ = 2.82367514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8401537657151))-π/2
    2×atan(6.29750652717615)-π/2
    2×1.41331815065645-π/2
    2.82663630131289-1.57079632675     		φ = 1.25583997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82367514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.784668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25583997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.954330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124440 KachelY 27149 2.82367514 1.25583997 161.784668 71.954330
    Oben rechts KachelX + 1 124441 KachelY 27149 2.82372307 1.25583997 161.787414 71.954330
    Unten links KachelX 124440 KachelY + 1 27150 2.82367514 1.25582512 161.784668 71.953479
    Unten rechts KachelX + 1 124441 KachelY + 1 27150 2.82372307 1.25582512 161.787414 71.953479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25583997-1.25582512) × R
    1.48500000001217e-05 × 6371000     		dl = 94.6093500007754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25583997-1.25582512) × R
    1.48500000001217e-05 × 6371000     		dr = 94.6093500007754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82367514-2.82372307) × cos(1.25583997) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.309774975131181 × 6371000     		do = 94.5935152484385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82367514-2.82372307) × cos(1.25582512) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.309789094624031 × 6371000     		du = 94.5978268054375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25583997)-sin(1.25582512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309774975131181-0.309789094624031)×R²
    abs(2.82372307-2.82367514)×1.41194928494071e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.41194928494071e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.41194928494071e-05×40589641000000     		ar = 8949.63494885094m²