Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12444 / 20836
↖ ↑ ↗
← S 43.866218°
W 43.286133°		 ← 880.75 m → S 43.866218°
W 43.275146°		 →
↑
880.73 m
↓
↑
880.73 m
↓
S 43.874138°
W 43.286133°		 ← 880.64 m →
775 651 m²		 S 43.874138°
W 43.275146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379776000976562 y=0.635879516601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379776000976562 × 215)
    floor (0.379776000976562 × 32768)
    floor (12444.5)     		tx = 12444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635879516601562 × 215)
    floor (0.635879516601562 × 32768)
    floor (20836.5)     		ty = 20836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12444 / 20836 ti = "15/12444/20836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12444/20836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12444 ÷ 215
    12444 ÷ 32768     		x = 0.3797607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20836 ÷ 215
    20836 ÷ 32768     		y = 0.6358642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.240478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75548554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6358642578125 × 2 - 1) × π
    -0.271728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.85366030843396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75548554} λ = -0.75548554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85366030843396))-π/2
    2×atan(0.42585332120053)-π/2
    2×0.402593196100227-π/2
    0.805186392200455-1.57079632675     		φ = -0.76560993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75548554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.286133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76560993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.866218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12444 KachelY 20836 -0.75548554 -0.76560993 -43.286133 -43.866218
    Oben rechts KachelX + 1 12445 KachelY 20836 -0.75529379 -0.76560993 -43.275146 -43.866218
    Unten links KachelX 12444 KachelY + 1 20837 -0.75548554 -0.76574817 -43.286133 -43.874138
    Unten rechts KachelX + 1 12445 KachelY + 1 20837 -0.75529379 -0.76574817 -43.275146 -43.874138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76560993--0.76574817) × R
    0.000138239999999956 × 6371000     		dl = 880.727039999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76560993--0.76574817) × R
    0.000138239999999956 × 6371000     		dr = 880.727039999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75548554--0.75529379) × cos(-0.76560993) × R
    0.000191750000000046 × 0.72095982418888 × 6371000     		do = 880.752818902447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75548554--0.75529379) × cos(-0.76574817) × R
    0.000191750000000046 × 0.72086402017884 × 6371000     		du = 880.635780963475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76560993)-sin(-0.76574817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72095982418888-0.72086402017884)×R²
    abs(-0.75529379--0.75548554)×9.58040100397239e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58040100397239e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58040100397239e-05×40589641000000     		ar = 775651.285160233m²