Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12444 / 12588
↖ ↑ ↗
← S 69.005675°
E 93.427735°		 ← 875.34 m → S 69.005675°
E 93.449707°		 →
↑
875.25 m
↓
↑
875.25 m
↓
S 69.013546°
E 93.427735°		 ← 875.03 m →
766 006 m²		 S 69.013546°
E 93.449707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759552001953125 y=0.768341064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759552001953125 × 214)
    floor (0.759552001953125 × 16384)
    floor (12444.5)     		tx = 12444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768341064453125 × 214)
    floor (0.768341064453125 × 16384)
    floor (12588.5)     		ty = 12588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12444 / 12588 ti = "14/12444/12588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12444/12588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12444 ÷ 214
    12444 ÷ 16384     		x = 0.759521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12588 ÷ 214
    12588 ÷ 16384     		y = 0.768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759521484375 × 2 - 1) × π
    0.51904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63062158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.53662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68584488583813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63062158} λ = 1.63062158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68584488583813))-π/2
    2×atan(0.185287818751106)-π/2
    2×0.183210046034955-π/2
    0.366420092069911-1.57079632675     		φ = -1.20437623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63062158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.427735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20437623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.005675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12444 KachelY 12588 1.63062158 -1.20437623 93.427735 -69.005675
    Oben rechts KachelX + 1 12445 KachelY 12588 1.63100507 -1.20437623 93.449707 -69.005675
    Unten links KachelX 12444 KachelY + 1 12589 1.63062158 -1.20451361 93.427735 -69.013546
    Unten rechts KachelX + 1 12445 KachelY + 1 12589 1.63100507 -1.20451361 93.449707 -69.013546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20437623--1.20451361) × R
    0.000137379999999965 × 6371000     		dl = 875.247979999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20437623--1.20451361) × R
    0.000137379999999965 × 6371000     		dr = 875.247979999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63062158-1.63100507) × cos(-1.20437623) × R
    0.000383490000000153 × 0.358275480265027 × 6371000     		do = 875.343952278217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63062158-1.63100507) × cos(-1.20451361) × R
    0.000383490000000153 × 0.358147216729857 × 6371000     		du = 875.03057691207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20437623)-sin(-1.20451361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358275480265027-0.358147216729857)×R²
    abs(1.63100507-1.63062158)×0.000128263535170592×R²
    0.000383490000000153×0.000128263535170592×6371000²
    0.000383490000000153×0.000128263535170592×40589641000000     		ar = 766005.886663801m²