Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124439 / 27137
↖ ↑ ↗
← N 71.964537°
E161.781921°		 ← 94.56 m → N 71.964537°
E161.784668°		 →
↑
94.55 m
↓
↑
94.55 m
↓
N 71.963687°
E161.781921°		 ← 94.57 m →
8 941 m²		 N 71.963687°
E161.784668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949398040771484 y=0.207042694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949398040771484 × 217)
    floor (0.949398040771484 × 131072)
    floor (124439.5)     		tx = 124439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207042694091797 × 217)
    floor (0.207042694091797 × 131072)
    floor (27137.5)     		ty = 27137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124439 / 27137 ti = "17/124439/27137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124439/27137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124439 ÷ 217
    124439 ÷ 131072     		x = 0.949394226074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27137 ÷ 217
    27137 ÷ 131072     		y = 0.207038879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949394226074219 × 2 - 1) × π
    0.898788452148438 × 3.1415926535     		Λ = 2.82362720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207038879394531 × 2 - 1) × π
    0.585922241210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.84072900851054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82362720} λ = 2.82362720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84072900851054))-π/2
    2×atan(6.30113016457088)-π/2
    2×1.41340722420461-π/2
    2.82681444840922-1.57079632675     		φ = 1.25601812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82362720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.781921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25601812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.964537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124439 KachelY 27137 2.82362720 1.25601812 161.781921 71.964537
    Oben rechts KachelX + 1 124440 KachelY 27137 2.82367514 1.25601812 161.784668 71.964537
    Unten links KachelX 124439 KachelY + 1 27138 2.82362720 1.25600328 161.781921 71.963687
    Unten rechts KachelX + 1 124440 KachelY + 1 27138 2.82367514 1.25600328 161.784668 71.963687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25601812-1.25600328) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dl = 94.545639999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25601812-1.25600328) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dr = 94.545639999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82362720-2.82367514) × cos(1.25601812) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.309605583432771 × 6371000     		do = 94.5615144288997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82362720-2.82367514) × cos(1.25600328) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.309619694236328 × 6371000     		du = 94.5658242315183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25601812)-sin(1.25600328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309605583432771-0.309619694236328)×R²
    abs(2.82367514-2.82362720)×1.41108035573434e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.41108035573434e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.41108035573434e-05×40589641000000     		ar = 8940.58263762242m²