Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 124438 / 27146
↖ ↑ ↗
← N 71.956883°
E161.779175°		 ← 94.60 m → N 71.956883°
E161.781921°		 →
↑
94.61 m
↓
↑
94.61 m
↓
N 71.956032°
E161.779175°		 ← 94.60 m →
8 950 m²		 N 71.956032°
E161.781921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949390411376953 y=0.207111358642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949390411376953 × 217)
    floor (0.949390411376953 × 131072)
    floor (124438.5)     		tx = 124438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207111358642578 × 217)
    floor (0.207111358642578 × 131072)
    floor (27146.5)     		ty = 27146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124438 / 27146 ti = "17/124438/27146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124438/27146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124438 ÷ 217
    124438 ÷ 131072     		x = 0.949386596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27146 ÷ 217
    27146 ÷ 131072     		y = 0.207107543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949386596679688 × 2 - 1) × π
    0.898773193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82357926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207107543945312 × 2 - 1) × π
    0.585784912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84029757641396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82357926} λ = 2.82357926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84029757641396))-π/2
    2×atan(6.29841224111502)-π/2
    2×1.41334042361116-π/2
    2.82668084722232-1.57079632675     		φ = 1.25588452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82357926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.779175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25588452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.956883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124438 KachelY 27146 2.82357926 1.25588452 161.779175 71.956883
    Oben rechts KachelX + 1 124439 KachelY 27146 2.82362720 1.25588452 161.781921 71.956883
    Unten links KachelX 124438 KachelY + 1 27147 2.82357926 1.25586967 161.779175 71.956032
    Unten rechts KachelX + 1 124439 KachelY + 1 27147 2.82362720 1.25586967 161.781921 71.956032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25588452-1.25586967) × R
    1.48499999998997e-05 × 6371000     		dl = 94.6093499993608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25588452-1.25586967) × R
    1.48499999998997e-05 × 6371000     		dr = 94.6093499993608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82357926-2.82362720) × cos(1.25588452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309732616242772 × 6371000     		do = 94.6003135180226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82357926-2.82362720) × cos(1.25586967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309746735940549 × 6371000     		du = 94.6046260371646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25588452)-sin(1.25586967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309732616242772-0.309746735940549)×R²
    abs(2.82362720-2.82357926)×1.41196977768709e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41196977768709e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41196977768709e-05×40589641000000     		ar = 8950.27817407453m²