Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124434 / 27161
↖ ↑ ↗
← N 71.944118°
E161.768188°		 ← 94.67 m → N 71.944118°
E161.770935°		 →
↑
94.67 m
↓
↑
94.67 m
↓
N 71.943266°
E161.768188°		 ← 94.67 m →
8 962 m²		 N 71.943266°
E161.770935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949359893798828 y=0.207225799560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949359893798828 × 217)
    floor (0.949359893798828 × 131072)
    floor (124434.5)     		tx = 124434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207225799560547 × 217)
    floor (0.207225799560547 × 131072)
    floor (27161.5)     		ty = 27161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124434 / 27161 ti = "17/124434/27161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124434/27161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124434 ÷ 217
    124434 ÷ 131072     		x = 0.949356079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27161 ÷ 217
    27161 ÷ 131072     		y = 0.207221984863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949356079101562 × 2 - 1) × π
    0.898712158203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.82338751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207221984863281 × 2 - 1) × π
    0.585556030273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.83957852291965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82338751} λ = 2.82338751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83957852291965))-π/2
    2×atan(6.2938849736533)-π/2
    2×1.41322902837649-π/2
    2.82645805675297-1.57079632675     		φ = 1.25566173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82338751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.768188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25566173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.944118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124434 KachelY 27161 2.82338751 1.25566173 161.768188 71.944118
    Oben rechts KachelX + 1 124435 KachelY 27161 2.82343545 1.25566173 161.770935 71.944118
    Unten links KachelX 124434 KachelY + 1 27162 2.82338751 1.25564687 161.768188 71.943266
    Unten rechts KachelX + 1 124435 KachelY + 1 27162 2.82343545 1.25564687 161.770935 71.943266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25566173-1.25564687) × R
    1.48599999998389e-05 × 6371000     		dl = 94.6730599989736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25566173-1.25564687) × R
    1.48599999998389e-05 × 6371000     		dr = 94.6730599989736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82338751-2.82343545) × cos(1.25566173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309944442566054 × 6371000     		do = 94.6650107295625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82338751-2.82343545) × cos(1.25564687) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309958570746229 × 6371000     		du = 94.6693258394471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25566173)-sin(1.25564687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309944442566054-0.309958570746229)×R²
    abs(2.82343545-2.82338751)×1.41281801745996e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41281801745996e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41281801745996e-05×40589641000000     		ar = 8962.43050319766m²