Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124431 / 27167
↖ ↑ ↗
← N 71.939009°
E161.759949°		 ← 94.69 m → N 71.939009°
E161.762695°		 →
↑
94.67 m
↓
↑
94.67 m
↓
N 71.938158°
E161.759949°		 ← 94.70 m →
8 965 m²		 N 71.938158°
E161.762695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949337005615234 y=0.207271575927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949337005615234 × 217)
    floor (0.949337005615234 × 131072)
    floor (124431.5)     		tx = 124431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207271575927734 × 217)
    floor (0.207271575927734 × 131072)
    floor (27167.5)     		ty = 27167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124431 / 27167 ti = "17/124431/27167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124431/27167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124431 ÷ 217
    124431 ÷ 131072     		x = 0.949333190917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27167 ÷ 217
    27167 ÷ 131072     		y = 0.207267761230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949333190917969 × 2 - 1) × π
    0.898666381835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.82324370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207267761230469 × 2 - 1) × π
    0.585464477539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.83929090152193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82324370} λ = 2.82324370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83929090152193))-π/2
    2×atan(6.29207497796931)-π/2
    2×1.41318444895464-π/2
    2.82636889790928-1.57079632675     		φ = 1.25557257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82324370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.759949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25557257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.939009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124431 KachelY 27167 2.82324370 1.25557257 161.759949 71.939009
    Oben rechts KachelX + 1 124432 KachelY 27167 2.82329164 1.25557257 161.762695 71.939009
    Unten links KachelX 124431 KachelY + 1 27168 2.82324370 1.25555771 161.759949 71.938158
    Unten rechts KachelX + 1 124432 KachelY + 1 27168 2.82329164 1.25555771 161.762695 71.938158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25557257-1.25555771) × R
    1.48600000000609e-05 × 6371000     		dl = 94.6730600003882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25557257-1.25555771) × R
    1.48600000000609e-05 × 6371000     		dr = 94.6730600003882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82324370-2.82329164) × cos(1.25557257) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.310029210620366 × 6371000     		do = 94.6909010752791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82324370-2.82329164) × cos(1.25555771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.310043338389825 × 6371000     		du = 94.6952160597205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25557257)-sin(1.25555771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310029210620366-0.310043338389825)×R²
    abs(2.82329164-2.82324370)×1.41277694584718e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41277694584718e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41277694584718e-05×40589641000000     		ar = 8964.88161558607m²