Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124431 / 27142
↖ ↑ ↗
← N 71.960285°
E161.759949°		 ← 94.58 m → N 71.960285°
E161.762695°		 →
↑
94.61 m
↓
↑
94.61 m
↓
N 71.959435°
E161.759949°		 ← 94.59 m →
8 949 m²		 N 71.959435°
E161.762695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949337005615234 y=0.207080841064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949337005615234 × 217)
    floor (0.949337005615234 × 131072)
    floor (124431.5)     		tx = 124431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207080841064453 × 217)
    floor (0.207080841064453 × 131072)
    floor (27142.5)     		ty = 27142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124431 / 27142 ti = "17/124431/27142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124431/27142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124431 ÷ 217
    124431 ÷ 131072     		x = 0.949333190917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27142 ÷ 217
    27142 ÷ 131072     		y = 0.207077026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949333190917969 × 2 - 1) × π
    0.898666381835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.82324370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207077026367188 × 2 - 1) × π
    0.585845947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84048932401244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82324370} λ = 2.82324370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84048932401244))-π/2
    2×atan(6.2996200623312)-π/2
    2×1.41337011614695-π/2
    2.82674023229389-1.57079632675     		φ = 1.25594391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82324370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.759949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25594391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.960285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124431 KachelY 27142 2.82324370 1.25594391 161.759949 71.960285
    Oben rechts KachelX + 1 124432 KachelY 27142 2.82329164 1.25594391 161.762695 71.960285
    Unten links KachelX 124431 KachelY + 1 27143 2.82324370 1.25592906 161.759949 71.959435
    Unten rechts KachelX + 1 124432 KachelY + 1 27143 2.82329164 1.25592906 161.762695 71.959435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25594391-1.25592906) × R
    1.48500000001217e-05 × 6371000     		dl = 94.6093500007754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25594391-1.25592906) × R
    1.48500000001217e-05 × 6371000     		dr = 94.6093500007754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82324370-2.82329164) × cos(1.25594391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309676146277086 × 6371000     		do = 94.5830661369651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82324370-2.82329164) × cos(1.25592906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30969026624801 × 6371000     		du = 94.5873787395335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25594391)-sin(1.25592906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309676146277086-0.30969026624801)×R²
    abs(2.82329164-2.82324370)×1.41199709244866e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41199709244866e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41199709244866e-05×40589641000000     		ar = 8948.64641468061m²