Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124430 / 27155
↖ ↑ ↗
← N 71.949224°
E161.757202°		 ← 94.62 m → N 71.949224°
E161.759949°		 →
↑
94.61 m
↓
↑
94.61 m
↓
N 71.948374°
E161.757202°		 ← 94.62 m →
8 952 m²		 N 71.948374°
E161.759949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949329376220703 y=0.207180023193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949329376220703 × 217)
    floor (0.949329376220703 × 131072)
    floor (124430.5)     		tx = 124430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207180023193359 × 217)
    floor (0.207180023193359 × 131072)
    floor (27155.5)     		ty = 27155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124430 / 27155 ti = "17/124430/27155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124430/27155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124430 ÷ 217
    124430 ÷ 131072     		x = 0.949325561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27155 ÷ 217
    27155 ÷ 131072     		y = 0.207176208496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949325561523438 × 2 - 1) × π
    0.898651123046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.82319577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207176208496094 × 2 - 1) × π
    0.585647583007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.83986614431738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82319577} λ = 2.82319577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83986614431738))-π/2
    2×atan(6.29569549000566)-π/2
    2×1.41327359560943-π/2
    2.82654719121886-1.57079632675     		φ = 1.25575086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82319577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.757202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25575086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.949224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124430 KachelY 27155 2.82319577 1.25575086 161.757202 71.949224
    Oben rechts KachelX + 1 124431 KachelY 27155 2.82324370 1.25575086 161.759949 71.949224
    Unten links KachelX 124430 KachelY + 1 27156 2.82319577 1.25573601 161.757202 71.948374
    Unten rechts KachelX + 1 124431 KachelY + 1 27156 2.82324370 1.25573601 161.759949 71.948374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25575086-1.25573601) × R
    1.48500000001217e-05 × 6371000     		dl = 94.6093500007754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25575086-1.25573601) × R
    1.48500000001217e-05 × 6371000     		dr = 94.6093500007754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82319577-2.82324370) × cos(1.25575086) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309859700571306 × 6371000     		do = 94.6193871817039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82319577-2.82324370) × cos(1.25573601) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309873819654169 × 6371000     		du = 94.623698613509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25575086)-sin(1.25573601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309859700571306-0.309873819654169)×R²
    abs(2.82324370-2.82319577)×1.41190828639171e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.41190828639171e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.41190828639171e-05×40589641000000     		ar = 8952.08266981325m²