Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 124430 / 27130
↖ ↑ ↗
← N 71.970489°
E161.757202°		 ← 94.51 m → N 71.970489°
E161.759949°		 →
↑
94.55 m
↓
↑
94.55 m
↓
N 71.969639°
E161.757202°		 ← 94.52 m →
8 936 m²		 N 71.969639°
E161.759949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949329376220703 y=0.206989288330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949329376220703 × 217)
    floor (0.949329376220703 × 131072)
    floor (124430.5)     		tx = 124430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206989288330078 × 217)
    floor (0.206989288330078 × 131072)
    floor (27130.5)     		ty = 27130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124430 / 27130 ti = "17/124430/27130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124430/27130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124430 ÷ 217
    124430 ÷ 131072     		x = 0.949325561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27130 ÷ 217
    27130 ÷ 131072     		y = 0.206985473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949325561523438 × 2 - 1) × π
    0.898651123046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.82319577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206985473632812 × 2 - 1) × π
    0.586029052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84106456680788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82319577} λ = 2.82319577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84106456680788))-π/2
    2×atan(6.30324491587155)-π/2
    2×1.41345916127923-π/2
    2.82691832255846-1.57079632675     		φ = 1.25612200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82319577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.757202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25612200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.970489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124430 KachelY 27130 2.82319577 1.25612200 161.757202 71.970489
    Oben rechts KachelX + 1 124431 KachelY 27130 2.82324370 1.25612200 161.759949 71.970489
    Unten links KachelX 124430 KachelY + 1 27131 2.82319577 1.25610716 161.757202 71.969639
    Unten rechts KachelX + 1 124431 KachelY + 1 27131 2.82324370 1.25610716 161.759949 71.969639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25612200-1.25610716) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dl = 94.545639999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25612200-1.25610716) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dr = 94.545639999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82319577-2.82324370) × cos(1.25612200) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309506805898917 × 6371000     		do = 94.5116265481672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82319577-2.82324370) × cos(1.25610716) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309520917179691 × 6371000     		du = 94.5159355975101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25612200)-sin(1.25610716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309506805898917-0.309520917179691)×R²
    abs(2.82324370-2.82319577)×1.41112807736099e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.41112807736099e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.41112807736099e-05×40589641000000     		ar = 8935.86592053411m²