Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12443 / 21077
↖ ↑ ↗
← S 45.744527°
W 43.297119°		 ← 852.53 m → S 45.744527°
W 43.286133°		 →
↑
852.44 m
↓
↑
852.44 m
↓
S 45.752193°
W 43.297119°		 ← 852.41 m →
726 682 m²		 S 45.752193°
W 43.286133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379745483398438 y=0.643234252929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379745483398438 × 215)
    floor (0.379745483398438 × 32768)
    floor (12443.5)     		tx = 12443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643234252929688 × 215)
    floor (0.643234252929688 × 32768)
    floor (21077.5)     		ty = 21077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12443 / 21077 ti = "15/12443/21077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12443/21077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12443 ÷ 215
    12443 ÷ 32768     		x = 0.379730224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21077 ÷ 215
    21077 ÷ 32768     		y = 0.643218994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379730224609375 × 2 - 1) × π
    -0.24053955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75567729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643218994140625 × 2 - 1) × π
    -0.28643798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.899871479667694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75567729} λ = -0.75567729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899871479667694))-π/2
    2×atan(0.406621915566271)-π/2
    2×0.386201858118146-π/2
    0.772403716236292-1.57079632675     		φ = -0.79839261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75567729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.297119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79839261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.744527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12443 KachelY 21077 -0.75567729 -0.79839261 -43.297119 -45.744527
    Oben rechts KachelX + 1 12444 KachelY 21077 -0.75548554 -0.79839261 -43.286133 -45.744527
    Unten links KachelX 12443 KachelY + 1 21078 -0.75567729 -0.79852641 -43.297119 -45.752193
    Unten rechts KachelX + 1 12444 KachelY + 1 21078 -0.75548554 -0.79852641 -43.286133 -45.752193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79839261--0.79852641) × R
    0.000133800000000073 × 6371000     		dl = 852.439800000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79839261--0.79852641) × R
    0.000133800000000073 × 6371000     		dr = 852.439800000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75567729--0.75548554) × cos(-0.79839261) × R
    0.000191749999999935 × 0.697858879816306 × 6371000     		do = 852.531798544343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75567729--0.75548554) × cos(-0.79852641) × R
    0.000191749999999935 × 0.697763041288735 × 6371000     		du = 852.4147184374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79839261)-sin(-0.79852641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697858879816306-0.697763041288735)×R²
    abs(-0.75548554--0.75567729)×9.58385275712237e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58385275712237e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58385275712237e-05×40589641000000     		ar = 726682.135058068m²