Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124428 / 27156
↖ ↑ ↗
← N 71.948374°
E161.751709°		 ← 94.64 m → N 71.948374°
E161.754456°		 →
↑
94.61 m
↓
↑
94.61 m
↓
N 71.947523°
E161.751709°		 ← 94.65 m →
8 954 m²		 N 71.947523°
E161.754456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949314117431641 y=0.207187652587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949314117431641 × 217)
    floor (0.949314117431641 × 131072)
    floor (124428.5)     		tx = 124428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207187652587891 × 217)
    floor (0.207187652587891 × 131072)
    floor (27156.5)     		ty = 27156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124428 / 27156 ti = "17/124428/27156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124428/27156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124428 ÷ 217
    124428 ÷ 131072     		x = 0.949310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27156 ÷ 217
    27156 ÷ 131072     		y = 0.207183837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949310302734375 × 2 - 1) × π
    0.89862060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.82309989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207183837890625 × 2 - 1) × π
    0.58563232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83981820741776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82309989} λ = 2.82309989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83981820741776))-π/2
    2×atan(6.29539370111638)-π/2
    2×1.4132661685836-π/2
    2.8265323371672-1.57079632675     		φ = 1.25573601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82309989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.751709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25573601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.948374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124428 KachelY 27156 2.82309989 1.25573601 161.751709 71.948374
    Oben rechts KachelX + 1 124429 KachelY 27156 2.82314783 1.25573601 161.754456 71.948374
    Unten links KachelX 124428 KachelY + 1 27157 2.82309989 1.25572116 161.751709 71.947523
    Unten rechts KachelX + 1 124429 KachelY + 1 27157 2.82314783 1.25572116 161.754456 71.947523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25573601-1.25572116) × R
    1.48499999998997e-05 × 6371000     		dl = 94.6093499993608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25573601-1.25572116) × R
    1.48499999998997e-05 × 6371000     		dr = 94.6093499993608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82309989-2.82314783) × cos(1.25573601) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309873819654169 × 6371000     		do = 94.6434406744392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82309989-2.82314783) × cos(1.25572116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309887938668699 × 6371000     		du = 94.6477529849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25573601)-sin(1.25572116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309873819654169-0.309887938668699)×R²
    abs(2.82314783-2.82309989)×1.41190145295234e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41190145295234e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41190145295234e-05×40589641000000     		ar = 8954.35839662361m²