Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124427 / 27135
↖ ↑ ↗
← N 71.966238°
E161.748963°		 ← 94.53 m → N 71.966238°
E161.751709°		 →
↑
94.55 m
↓
↑
94.55 m
↓
N 71.965388°
E161.748963°		 ← 94.54 m →
8 938 m²		 N 71.965388°
E161.751709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949306488037109 y=0.207027435302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949306488037109 × 217)
    floor (0.949306488037109 × 131072)
    floor (124427.5)     		tx = 124427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207027435302734 × 217)
    floor (0.207027435302734 × 131072)
    floor (27135.5)     		ty = 27135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124427 / 27135 ti = "17/124427/27135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124427/27135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124427 ÷ 217
    124427 ÷ 131072     		x = 0.949302673339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27135 ÷ 217
    27135 ÷ 131072     		y = 0.207023620605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949302673339844 × 2 - 1) × π
    0.898605346679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.82305196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207023620605469 × 2 - 1) × π
    0.585952758789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.84082488230978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82305196} λ = 2.82305196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84082488230978))-π/2
    2×atan(6.30173430681951)-π/2
    2×1.41342206505983-π/2
    2.82684413011966-1.57079632675     		φ = 1.25604780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82305196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.748963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25604780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.966238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124427 KachelY 27135 2.82305196 1.25604780 161.748963 71.966238
    Oben rechts KachelX + 1 124428 KachelY 27135 2.82309989 1.25604780 161.751709 71.966238
    Unten links KachelX 124427 KachelY + 1 27136 2.82305196 1.25603296 161.748963 71.965388
    Unten rechts KachelX + 1 124428 KachelY + 1 27136 2.82309989 1.25603296 161.751709 71.965388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25604780-1.25603296) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dl = 94.545639999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25604780-1.25603296) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dr = 94.545639999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82305196-2.82309989) × cos(1.25604780) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.30957736162111 × 6371000     		do = 94.5331715867241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82305196-2.82309989) × cos(1.25603296) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.30959147256103 × 6371000     		du = 94.5374805319834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25604780)-sin(1.25603296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30957736162111-0.30959147256103)×R²
    abs(2.82309989-2.82305196)×1.41109399203754e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.41109399203754e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.41109399203754e-05×40589641000000     		ar = 8937.90290497941m²