Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124425 / 27138
↖ ↑ ↗
← N 71.963687°
E161.743469°		 ← 94.57 m → N 71.963687°
E161.746216°		 →
↑
94.55 m
↓
↑
94.55 m
↓
N 71.962837°
E161.743469°		 ← 94.57 m →
8 941 m²		 N 71.962837°
E161.746216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949291229248047 y=0.207050323486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949291229248047 × 217)
    floor (0.949291229248047 × 131072)
    floor (124425.5)     		tx = 124425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207050323486328 × 217)
    floor (0.207050323486328 × 131072)
    floor (27138.5)     		ty = 27138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124425 / 27138 ti = "17/124425/27138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124425/27138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124425 ÷ 217
    124425 ÷ 131072     		x = 0.949287414550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27138 ÷ 217
    27138 ÷ 131072     		y = 0.207046508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949287414550781 × 2 - 1) × π
    0.898574829101562 × 3.1415926535     		Λ = 2.82295608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207046508789062 × 2 - 1) × π
    0.585906982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84068107161092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82295608} λ = 2.82295608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84068107161092))-π/2
    2×atan(6.3008281151664)-π/2
    2×1.41339980326963-π/2
    2.82679960653926-1.57079632675     		φ = 1.25600328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82295608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.743469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25600328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.963687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124425 KachelY 27138 2.82295608 1.25600328 161.743469 71.963687
    Oben rechts KachelX + 1 124426 KachelY 27138 2.82300402 1.25600328 161.746216 71.963687
    Unten links KachelX 124425 KachelY + 1 27139 2.82295608 1.25598844 161.743469 71.962837
    Unten rechts KachelX + 1 124426 KachelY + 1 27139 2.82300402 1.25598844 161.746216 71.962837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25600328-1.25598844) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dl = 94.545639999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25600328-1.25598844) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dr = 94.545639999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82295608-2.82300402) × cos(1.25600328) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309619694236328 × 6371000     		do = 94.5658242306423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82295608-2.82300402) × cos(1.25598844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309633804971699 × 6371000     		du = 94.5701340124349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25600328)-sin(1.25598844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309619694236328-0.309633804971699)×R²
    abs(2.82300402-2.82295608)×1.41107353711645e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41107353711645e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41107353711645e-05×40589641000000     		ar = 8940.99010961899m²