Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124424 / 27174
↖ ↑ ↗
← N 71.933048°
E161.740722°		 ← 94.72 m → N 71.933048°
E161.743469°		 →
↑
94.74 m
↓
↑
94.74 m
↓
N 71.932196°
E161.740722°		 ← 94.73 m →
8 974 m²		 N 71.932196°
E161.743469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949283599853516 y=0.207324981689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949283599853516 × 217)
    floor (0.949283599853516 × 131072)
    floor (124424.5)     		tx = 124424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207324981689453 × 217)
    floor (0.207324981689453 × 131072)
    floor (27174.5)     		ty = 27174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124424 / 27174 ti = "17/124424/27174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124424/27174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124424 ÷ 217
    124424 ÷ 131072     		x = 0.94927978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27174 ÷ 217
    27174 ÷ 131072     		y = 0.207321166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94927978515625 × 2 - 1) × π
    0.8985595703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.82290814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207321166992188 × 2 - 1) × π
    0.585357666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83895534322459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82290814} λ = 2.82290814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83895534322459))-π/2
    2×atan(6.28996397420519)-π/2
    2×1.41313242421975-π/2
    2.8262648484395-1.57079632675     		φ = 1.25546852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82290814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.740722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25546852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.933048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124424 KachelY 27174 2.82290814 1.25546852 161.740722 71.933048
    Oben rechts KachelX + 1 124425 KachelY 27174 2.82295608 1.25546852 161.743469 71.933048
    Unten links KachelX 124424 KachelY + 1 27175 2.82290814 1.25545365 161.740722 71.932196
    Unten rechts KachelX + 1 124425 KachelY + 1 27175 2.82295608 1.25545365 161.743469 71.932196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25546852-1.25545365) × R
    1.48700000000002e-05 × 6371000     		dl = 94.736770000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25546852-1.25545365) × R
    1.48700000000002e-05 × 6371000     		dr = 94.736770000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82290814-2.82295608) × cos(1.25546852) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.310128132089572 × 6371000     		do = 94.7211142382132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82290814-2.82295608) × cos(1.25545365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.310142268886483 × 6371000     		du = 94.7254319798709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25546852)-sin(1.25545365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310128132089572-0.310142268886483)×R²
    abs(2.82295608-2.82290814)×1.4136796910702e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4136796910702e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4136796910702e-05×40589641000000     		ar = 8973.77693828673m²