Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124422 / 27154
↖ ↑ ↗
← N 71.950076°
E161.735229°		 ← 94.63 m → N 71.950076°
E161.737976°		 →
↑
94.67 m
↓
↑
94.67 m
↓
N 71.949224°
E161.735229°		 ← 94.64 m →
8 960 m²		 N 71.949224°
E161.737976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949268341064453 y=0.207172393798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949268341064453 × 217)
    floor (0.949268341064453 × 131072)
    floor (124422.5)     		tx = 124422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207172393798828 × 217)
    floor (0.207172393798828 × 131072)
    floor (27154.5)     		ty = 27154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124422 / 27154 ti = "17/124422/27154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124422/27154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124422 ÷ 217
    124422 ÷ 131072     		x = 0.949264526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27154 ÷ 217
    27154 ÷ 131072     		y = 0.207168579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949264526367188 × 2 - 1) × π
    0.898529052734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82281227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207168579101562 × 2 - 1) × π
    0.585662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.839914081217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82281227} λ = 2.82281227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.839914081217))-π/2
    2×atan(6.2959972933621)-π/2
    2×1.41328102229676-π/2
    2.82656204459353-1.57079632675     		φ = 1.25576572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82281227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.735229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25576572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.950076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124422 KachelY 27154 2.82281227 1.25576572 161.735229 71.950076
    Oben rechts KachelX + 1 124423 KachelY 27154 2.82286021 1.25576572 161.737976 71.950076
    Unten links KachelX 124422 KachelY + 1 27155 2.82281227 1.25575086 161.735229 71.949224
    Unten rechts KachelX + 1 124423 KachelY + 1 27155 2.82286021 1.25575086 161.737976 71.949224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25576572-1.25575086) × R
    1.48600000000609e-05 × 6371000     		dl = 94.6730600003882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25576572-1.25575086) × R
    1.48600000000609e-05 × 6371000     		dr = 94.6730600003882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82281227-2.82286021) × cos(1.25576572) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309845571912242 × 6371000     		do = 94.6348130869576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82281227-2.82286021) × cos(1.25575086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309859700571306 × 6371000     		du = 94.6391283431074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25576572)-sin(1.25575086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309845571912242-0.309859700571306)×R²
    abs(2.82286021-2.82281227)×1.41286590638057e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41286590638057e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41286590638057e-05×40589641000000     		ar = 8959.57160677578m²