Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124421 / 27123
↖ ↑ ↗
← N 71.976439°
E161.732483°		 ← 94.50 m → N 71.976439°
E161.735229°		 →
↑
94.55 m
↓
↑
94.55 m
↓
N 71.975588°
E161.732483°		 ← 94.51 m →
8 935 m²		 N 71.975588°
E161.735229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949260711669922 y=0.206935882568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949260711669922 × 217)
    floor (0.949260711669922 × 131072)
    floor (124421.5)     		tx = 124421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206935882568359 × 217)
    floor (0.206935882568359 × 131072)
    floor (27123.5)     		ty = 27123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124421 / 27123 ti = "17/124421/27123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124421/27123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124421 ÷ 217
    124421 ÷ 131072     		x = 0.949256896972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27123 ÷ 217
    27123 ÷ 131072     		y = 0.206932067871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949256896972656 × 2 - 1) × π
    0.898513793945312 × 3.1415926535     		Λ = 2.82276433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206932067871094 × 2 - 1) × π
    0.586135864257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.84140012510522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82276433} λ = 2.82276433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84140012510522))-π/2
    2×atan(6.30536037691364)-π/2
    2×1.41351108178434-π/2
    2.82702216356868-1.57079632675     		φ = 1.25622584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82276433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.732483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25622584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.976439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124421 KachelY 27123 2.82276433 1.25622584 161.732483 71.976439
    Oben rechts KachelX + 1 124422 KachelY 27123 2.82281227 1.25622584 161.735229 71.976439
    Unten links KachelX 124421 KachelY + 1 27124 2.82276433 1.25621100 161.732483 71.975588
    Unten rechts KachelX + 1 124422 KachelY + 1 27124 2.82281227 1.25621100 161.735229 71.975588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25622584-1.25621100) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dl = 94.545639999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25622584-1.25621100) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dr = 94.545639999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82276433-2.82281227) × cos(1.25622584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309408063062334 × 6371000     		do = 94.5011866227179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82276433-2.82281227) × cos(1.25621100) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309422174819988 × 6371000     		du = 94.5054967167421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25622584)-sin(1.25621100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309408063062334-0.309422174819988)×R²
    abs(2.82281227-2.82276433)×1.41117576539229e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41117576539229e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41117576539229e-05×40589641000000     		ar = 8934.87892043528m²