Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124420 / 27164
↖ ↑ ↗
← N 71.941563°
E161.729736°		 ← 94.66 m → N 71.941563°
E161.732483°		 →
↑
94.67 m
↓
↑
94.67 m
↓
N 71.940712°
E161.729736°		 ← 94.66 m →
8 962 m²		 N 71.940712°
E161.732483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949253082275391 y=0.207248687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949253082275391 × 217)
    floor (0.949253082275391 × 131072)
    floor (124420.5)     		tx = 124420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207248687744141 × 217)
    floor (0.207248687744141 × 131072)
    floor (27164.5)     		ty = 27164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124420 / 27164 ti = "17/124420/27164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124420/27164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124420 ÷ 217
    124420 ÷ 131072     		x = 0.949249267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27164 ÷ 217
    27164 ÷ 131072     		y = 0.207244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949249267578125 × 2 - 1) × π
    0.89849853515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82271640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207244873046875 × 2 - 1) × π
    0.58551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83943471222079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82271640} λ = 2.82271640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83943471222079))-π/2
    2×atan(6.29297991073712)-π/2
    2×1.41320674018936-π/2
    2.82641348037872-1.57079632675     		φ = 1.25561715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82271640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.729736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25561715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.941563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124420 KachelY 27164 2.82271640 1.25561715 161.729736 71.941563
    Oben rechts KachelX + 1 124421 KachelY 27164 2.82276433 1.25561715 161.732483 71.941563
    Unten links KachelX 124420 KachelY + 1 27165 2.82271640 1.25560229 161.729736 71.940712
    Unten rechts KachelX + 1 124421 KachelY + 1 27165 2.82276433 1.25560229 161.732483 71.940712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25561715-1.25560229) × R
    1.48600000000609e-05 × 6371000     		dl = 94.6730600003882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25561715-1.25560229) × R
    1.48600000000609e-05 × 6371000     		dr = 94.6730600003882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82271640-2.82276433) × cos(1.25561715) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.30998682690124 × 6371000     		do = 94.6582067358793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82271640-2.82276433) × cos(1.25560229) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.310000954876071 × 6371000     		du = 94.6625208829534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25561715)-sin(1.25560229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30998682690124-0.310000954876071)×R²
    abs(2.82276433-2.82271640)×1.41279748306911e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.41279748306911e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.41279748306911e-05×40589641000000     		ar = 8961.78630281415m²