Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124419 / 27171
↖ ↑ ↗
← N 71.935603°
E161.726990°		 ← 94.71 m → N 71.935603°
E161.729736°		 →
↑
94.74 m
↓
↑
94.74 m
↓
N 71.934751°
E161.726990°		 ← 94.71 m →
8 973 m²		 N 71.934751°
E161.729736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949245452880859 y=0.207302093505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949245452880859 × 217)
    floor (0.949245452880859 × 131072)
    floor (124419.5)     		tx = 124419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207302093505859 × 217)
    floor (0.207302093505859 × 131072)
    floor (27171.5)     		ty = 27171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124419 / 27171 ti = "17/124419/27171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124419/27171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124419 ÷ 217
    124419 ÷ 131072     		x = 0.949241638183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27171 ÷ 217
    27171 ÷ 131072     		y = 0.207298278808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949241638183594 × 2 - 1) × π
    0.898483276367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.82266846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207298278808594 × 2 - 1) × π
    0.585403442382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.83909915392345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82266846} λ = 2.82266846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83909915392345))-π/2
    2×atan(6.29086860336624)-π/2
    2×1.41315472256699-π/2
    2.82630944513398-1.57079632675     		φ = 1.25551312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82266846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.726990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25551312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.935603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124419 KachelY 27171 2.82266846 1.25551312 161.726990 71.935603
    Oben rechts KachelX + 1 124420 KachelY 27171 2.82271640 1.25551312 161.729736 71.935603
    Unten links KachelX 124419 KachelY + 1 27172 2.82266846 1.25549825 161.726990 71.934751
    Unten rechts KachelX + 1 124420 KachelY + 1 27172 2.82271640 1.25549825 161.729736 71.934751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25551312-1.25549825) × R
    1.48700000000002e-05 × 6371000     		dl = 94.736770000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25551312-1.25549825) × R
    1.48700000000002e-05 × 6371000     		dr = 94.736770000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82266846-2.82271640) × cos(1.25551312) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.310085730794491 × 6371000     		do = 94.7081637912862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82266846-2.82271640) × cos(1.25549825) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.31009986779707 × 6371000     		du = 94.7124815957602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25551312)-sin(1.25549825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310085730794491-0.31009986779707)×R²
    abs(2.82271640-2.82266846)×1.41370025788512e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41370025788512e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41370025788512e-05×40589641000000     		ar = 8972.55005790797m²