Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124409 / 27160
↖ ↑ ↗
← N 71.944969°
E161.699524°		 ← 94.66 m → N 71.944969°
E161.702271°		 →
↑
94.67 m
↓
↑
94.67 m
↓
N 71.944118°
E161.699524°		 ← 94.67 m →
8 962 m²		 N 71.944118°
E161.702271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949169158935547 y=0.207218170166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949169158935547 × 217)
    floor (0.949169158935547 × 131072)
    floor (124409.5)     		tx = 124409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207218170166016 × 217)
    floor (0.207218170166016 × 131072)
    floor (27160.5)     		ty = 27160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124409 / 27160 ti = "17/124409/27160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124409/27160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124409 ÷ 217
    124409 ÷ 131072     		x = 0.949165344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27160 ÷ 217
    27160 ÷ 131072     		y = 0.20721435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949165344238281 × 2 - 1) × π
    0.898330688476562 × 3.1415926535     		Λ = 2.82218909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20721435546875 × 2 - 1) × π
    0.5855712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83962645981927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82218909} λ = 2.82218909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83962645981927))-π/2
    2×atan(6.29418669021713)-π/2
    2×1.41323645709502-π/2
    2.82647291419003-1.57079632675     		φ = 1.25567659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82218909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.699524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25567659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.944969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124409 KachelY 27160 2.82218909 1.25567659 161.699524 71.944969
    Oben rechts KachelX + 1 124410 KachelY 27160 2.82223703 1.25567659 161.702271 71.944969
    Unten links KachelX 124409 KachelY + 1 27161 2.82218909 1.25566173 161.699524 71.944118
    Unten rechts KachelX + 1 124410 KachelY + 1 27161 2.82223703 1.25566173 161.702271 71.944118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25567659-1.25566173) × R
    1.48600000000609e-05 × 6371000     		dl = 94.6730600003882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25567659-1.25566173) × R
    1.48600000000609e-05 × 6371000     		dr = 94.6730600003882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82218909-2.82223703) × cos(1.25567659) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309930314317437 × 6371000     		do = 94.6606955987739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82218909-2.82223703) × cos(1.25566173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309944442566054 × 6371000     		du = 94.6650107295625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25567659)-sin(1.25566173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309930314317437-0.309944442566054)×R²
    abs(2.82223703-2.82218909)×1.41282486165739e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41282486165739e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41282486165739e-05×40589641000000     		ar = 8962.02197751714m²