Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124407 / 27159
↖ ↑ ↗
← N 71.945820°
E161.694031°		 ← 94.64 m → N 71.945820°
E161.696777°		 →
↑
94.61 m
↓
↑
94.61 m
↓
N 71.944969°
E161.694031°		 ← 94.64 m →
8 954 m²		 N 71.944969°
E161.696777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949153900146484 y=0.207210540771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949153900146484 × 217)
    floor (0.949153900146484 × 131072)
    floor (124407.5)     		tx = 124407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207210540771484 × 217)
    floor (0.207210540771484 × 131072)
    floor (27159.5)     		ty = 27159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124407 / 27159 ti = "17/124407/27159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124407/27159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124407 ÷ 217
    124407 ÷ 131072     		x = 0.949150085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27159 ÷ 217
    27159 ÷ 131072     		y = 0.207206726074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949150085449219 × 2 - 1) × π
    0.898300170898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.82209322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207206726074219 × 2 - 1) × π
    0.585586547851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.8396743967189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82209322} λ = 2.82209322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8396743967189))-π/2
    2×atan(6.29448842124465)-π/2
    2×1.41324388547498-π/2
    2.82648777094995-1.57079632675     		φ = 1.25569144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82209322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.694031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25569144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.945820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124407 KachelY 27159 2.82209322 1.25569144 161.694031 71.945820
    Oben rechts KachelX + 1 124408 KachelY 27159 2.82214115 1.25569144 161.696777 71.945820
    Unten links KachelX 124407 KachelY + 1 27160 2.82209322 1.25567659 161.694031 71.944969
    Unten rechts KachelX + 1 124408 KachelY + 1 27160 2.82214115 1.25567659 161.696777 71.944969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25569144-1.25567659) × R
    1.48500000001217e-05 × 6371000     		dl = 94.6093500007754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25569144-1.25567659) × R
    1.48500000001217e-05 × 6371000     		dr = 94.6093500007754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82209322-2.82214115) × cos(1.25569144) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309916195508021 × 6371000     		do = 94.6366385902641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82209322-2.82214115) × cos(1.25567659) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309930314317437 × 6371000     		du = 94.6409499385687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25569144)-sin(1.25567659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309916195508021-0.309930314317437)×R²
    abs(2.82214115-2.82209322)×1.41188094165967e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.41188094165967e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.41188094165967e-05×40589641000000     		ar = 8953.71481045313m²