Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12440 / 20847
↖ ↑ ↗
← S 43.953282°
W 43.330078°		 ← 879.47 m → S 43.953282°
W 43.319092°		 →
↑
879.39 m
↓
↑
879.39 m
↓
S 43.961191°
W 43.330078°		 ← 879.35 m →
773 341 m²		 S 43.961191°
W 43.319092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379653930664062 y=0.636215209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379653930664062 × 215)
    floor (0.379653930664062 × 32768)
    floor (12440.5)     		tx = 12440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636215209960938 × 215)
    floor (0.636215209960938 × 32768)
    floor (20847.5)     		ty = 20847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12440 / 20847 ti = "15/12440/20847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12440/20847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12440 ÷ 215
    12440 ÷ 32768     		x = 0.379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20847 ÷ 215
    20847 ÷ 32768     		y = 0.636199951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.24072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75625253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636199951171875 × 2 - 1) × π
    -0.27239990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.855769532017242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75625253} λ = -0.75625253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855769532017242))-π/2
    2×atan(0.424956047940046)-π/2
    2×0.401833419061127-π/2
    0.803666838122255-1.57079632675     		φ = -0.76712949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75625253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76712949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.953282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12440 KachelY 20847 -0.75625253 -0.76712949 -43.330078 -43.953282
    Oben rechts KachelX + 1 12441 KachelY 20847 -0.75606078 -0.76712949 -43.319092 -43.953282
    Unten links KachelX 12440 KachelY + 1 20848 -0.75625253 -0.76726752 -43.330078 -43.961191
    Unten rechts KachelX + 1 12441 KachelY + 1 20848 -0.75606078 -0.76726752 -43.319092 -43.961191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76712949--0.76726752) × R
    0.000138030000000011 × 6371000     		dl = 879.389130000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76712949--0.76726752) × R
    0.000138030000000011 × 6371000     		dr = 879.389130000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75625253--0.75606078) × cos(-0.76712949) × R
    0.000191750000000046 × 0.719905972302487 × 6371000     		do = 879.465392074343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75625253--0.75606078) × cos(-0.76726752) × R
    0.000191750000000046 × 0.719810162741409 × 6371000     		du = 879.348347354004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76712949)-sin(-0.76726752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719905972302487-0.719810162741409)×R²
    abs(-0.75606078--0.75625253)×9.58095610780196e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58095610780196e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58095610780196e-05×40589641000000     		ar = 773340.843301596m²