Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12440 / 20845
↖ ↑ ↗
← S 43.937462°
W 43.330078°		 ← 879.70 m → S 43.937462°
W 43.319092°		 →
↑
879.64 m
↓
↑
879.64 m
↓
S 43.945372°
W 43.330078°		 ← 879.58 m →
773 771 m²		 S 43.945372°
W 43.319092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379653930664062 y=0.636154174804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379653930664062 × 215)
    floor (0.379653930664062 × 32768)
    floor (12440.5)     		tx = 12440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636154174804688 × 215)
    floor (0.636154174804688 × 32768)
    floor (20845.5)     		ty = 20845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12440 / 20845 ti = "15/12440/20845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12440/20845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12440 ÷ 215
    12440 ÷ 32768     		x = 0.379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20845 ÷ 215
    20845 ÷ 32768     		y = 0.636138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.24072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75625253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636138916015625 × 2 - 1) × π
    -0.27227783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.855386036820282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75625253} λ = -0.75625253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855386036820282))-π/2
    2×atan(0.425119047796184)-π/2
    2×0.401971477673802-π/2
    0.803942955347603-1.57079632675     		φ = -0.76685337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75625253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76685337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.937462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12440 KachelY 20845 -0.75625253 -0.76685337 -43.330078 -43.937462
    Oben rechts KachelX + 1 12441 KachelY 20845 -0.75606078 -0.76685337 -43.319092 -43.937462
    Unten links KachelX 12440 KachelY + 1 20846 -0.75625253 -0.76699144 -43.330078 -43.945372
    Unten rechts KachelX + 1 12441 KachelY + 1 20846 -0.75606078 -0.76699144 -43.319092 -43.945372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76685337--0.76699144) × R
    0.00013806999999999 × 6371000     		dl = 879.643969999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76685337--0.76699144) × R
    0.00013806999999999 × 6371000     		dr = 879.643969999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75625253--0.75606078) × cos(-0.76685337) × R
    0.000191750000000046 × 0.720097591907635 × 6371000     		do = 879.69948210506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75625253--0.75606078) × cos(-0.76699144) × R
    0.000191750000000046 × 0.720001782027159 × 6371000     		du = 879.582436994533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76685337)-sin(-0.76699144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720097591907635-0.720001782027159)×R²
    abs(-0.75606078--0.75625253)×9.58098804758611e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58098804758611e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58098804758611e-05×40589641000000     		ar = 773770.867062857m²