Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12438 / 20844
↖ ↑ ↗
← S 43.929550°
W 43.352051°		 ← 879.77 m → S 43.929550°
W 43.341065°		 →
↑
879.71 m
↓
↑
879.71 m
↓
S 43.937462°
W 43.352051°		 ← 879.65 m →
773 890 m²		 S 43.937462°
W 43.341065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379592895507812 y=0.636123657226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379592895507812 × 215)
    floor (0.379592895507812 × 32768)
    floor (12438.5)     		tx = 12438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636123657226562 × 215)
    floor (0.636123657226562 × 32768)
    floor (20844.5)     		ty = 20844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12438 / 20844 ti = "15/12438/20844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12438/20844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12438 ÷ 215
    12438 ÷ 32768     		x = 0.37957763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20844 ÷ 215
    20844 ÷ 32768     		y = 0.6361083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37957763671875 × 2 - 1) × π
    -0.2408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75663602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6361083984375 × 2 - 1) × π
    -0.272216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.855194289221802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75663602} λ = -0.75663602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855194289221802))-π/2
    2×atan(0.425200571168373)-π/2
    2×0.402040520758381-π/2
    0.804081041516763-1.57079632675     		φ = -0.76671529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75663602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.352051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76671529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.929550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12438 KachelY 20844 -0.75663602 -0.76671529 -43.352051 -43.929550
    Oben rechts KachelX + 1 12439 KachelY 20844 -0.75644428 -0.76671529 -43.341065 -43.929550
    Unten links KachelX 12438 KachelY + 1 20845 -0.75663602 -0.76685337 -43.352051 -43.937462
    Unten rechts KachelX + 1 12439 KachelY + 1 20845 -0.75644428 -0.76685337 -43.341065 -43.937462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76671529--0.76685337) × R
    0.000138079999999929 × 6371000     		dl = 879.70767999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76671529--0.76685337) × R
    0.000138079999999929 × 6371000     		dr = 879.70767999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75663602--0.75644428) × cos(-0.76671529) × R
    0.000191739999999996 × 0.72019339499839 × 6371000     		do = 879.770635399572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75663602--0.75644428) × cos(-0.76685337) × R
    0.000191739999999996 × 0.720097591907635 × 6371000     		du = 879.653604687249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76671529)-sin(-0.76685337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72019339499839-0.720097591907635)×R²
    abs(-0.75644428--0.75663602)×9.58030907551866e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58030907551866e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58030907551866e-05×40589641000000     		ar = 773889.509419781m²